Matematyka.pl

Znaleźć taką liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ f(n)}\) jest liczbą złożoną

\(\displaystyle{ f(n) = n^2+ 21 n + 1}\)

Może mi ktoś wytłumaczyć o co w tym chodzi?

Liczba złożona to taka, którą można przedstawić jako iloczyn co najmniej 2 liczb pierwszych. Wstawiasz do tej funkcji jakieś \(\displaystyle{ n}\) i sprawdzasz czy wartość funkcji jest liczbą złożoną. Dla przykładu
\(\displaystyle{ f(1)=1^2+21 \cdot 1+1=23}\) - nie jest liczbą złożoną

Tylko że jeśli będziemy tak po kolei podstawiać, to trochę się naliczymy, bo ileś pierwszych wyrazów to liczby pierwsze. Proponuję takie podejście:
\(\displaystyle{ n^2+21n+1=(n+1)^2+19n}\)
i teraz dobierzmy takie \(\displaystyle{ n}\), by \(\displaystyle{ 19}\) dzieliło \(\displaystyle{ n+1}\), na przykład \(\displaystyle{ n=18}\). Wówczas też
\(\displaystyle{ 19|n^2+21n+1}\).
Oczywiście to tylko jedna z właściwie nieskończenie wielu możliwości.

Dziwne zadanie może chodziło o coś innego?
takie n od ręki
\(\displaystyle{ 18, 24, 35, 47, 49, 50, 55, 63, 70, 71, 72, 76, 88, 92, 93, 96}\)

Brombal pisze:Dziwne zadanie może chodziło o coś innego?
takie n od ręki
\(\displaystyle{ 18, 24, 35, 47, 49, 50, 55, 63, 70, 71, 72, 76, 88, 92, 93, 96}\)

Podziwiam Cię, że to widzisz