udowodnij ze odwzorowanie jest izomorfizmem w siebie

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
rivit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 140
Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 1 raz

udowodnij ze odwzorowanie jest izomorfizmem w siebie

Post autor: rivit » 7 lis 2018, o 12:15

\(\displaystyle{ A = \left\{ x = a + b \sqrt{3} : a, b \in \ZZ\right\}}\)
Udowodnij, że odwzorowanie \(\displaystyle{ f : x = a + b \sqrt{3} \rightarrow x˜ = a - b\sqrt{3}}\) jest automorfizmem pierścienia
\(\displaystyle{ (A, +, \cdot )}\) w siebie.

Jak to pokazać? Niestety nawet nie wiem jak rozpocząć :/
Ostatnio zmieniony 7 lis 2018, o 12:37 przez rivit, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14387
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4731 razy

Re: udowodnij ze odwzorowanie jest izomorfizmem w siebie

Post autor: Premislav » 7 lis 2018, o 12:31

Co to jest \(\displaystyle{ A}\)? Chodzi może o \(\displaystyle{ \QQ(\sqrt{2})}\), czy \(\displaystyle{ \ZZ(\sqrt{2})}\)?

rivit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 140
Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 1 raz

Re: udowodnij ze odwzorowanie jest izomorfizmem w siebie

Post autor: rivit » 7 lis 2018, o 12:35

Zapomniałem dodać. Edytowałem 1 post

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25619
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4280 razy

udowodnij ze odwzorowanie jest izomorfizmem w siebie

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2018, o 13:07

rivit pisze:Niestety nawet nie wiem jak rozpocząć :/
Z definicji automorfizmu?

JK

rivit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 140
Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 1 raz

Re: udowodnij ze odwzorowanie jest izomorfizmem w siebie

Post autor: rivit » 7 lis 2018, o 13:27

\(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\)

\(\displaystyle{ L = f((a+b\sqrt{3}) + (c+d\sqrt{3}))=(a+c)+(b+d) \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ P = f(a+b\sqrt{3}) + f(c+d\sqrt{3})=(a+c)+(b+d) \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ L = P}\)

to nie jest po prostu tak? (póki co dla samego dodawania)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14387
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 4731 razy

Re: udowodnij ze odwzorowanie jest izomorfizmem w siebie

Post autor: Premislav » 7 lis 2018, o 14:14

No chyba nie do końca.
Z określenia \(\displaystyle{ f}\) mamy dla \(\displaystyle{ a,b\in \ZZ}\):
\(\displaystyle{ L = f((a+b\sqrt{3}) + (c+d\sqrt{3}))=(a+c){\red -}(b+d) \sqrt{3}}\)
i tak dalej.

Oczywiście jeszcze trzeba sprawdzić, czy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją (to akurat łatwe) i jeszcze sprawdzić mnożenie.

rivit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 140
Rejestracja: 28 paź 2018, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 1 raz

Re: udowodnij ze odwzorowanie jest izomorfizmem w siebie

Post autor: rivit » 7 lis 2018, o 17:27

dziękuję bardzo

ODPOWIEDZ