granica z parametremi

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
matekleliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 17 razy

granica z parametremi

Post autor: matekleliczek » 5 paź 2007, o 16:13

witam proszę o pomoc

ZADANIE
jakie a i b gdy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\sqrt{x^2-x+1}-ax-b)=0}\)

no i ja to zrobiłem tak ponoć źle więc proszę o wskazanaie błędu

a mianowicie

\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\sqrt {x^2-x+1}-ax-b)=0}\)
\(\displaystyle{ -b+\lim_{x\to } (x\sqrt {1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-ax)=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } x(\sqrt {1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a)=b}\)

z ostatniego zapisu wynika, że
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\sqrt {1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a)=0}\)
\(\displaystyle{ 1-a=0}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\sqrt {x^2-x+1}-x)=\lim_{x\to } \frac{x^2-x+1-x^2}{\sqrt{x^2-x+1}+x}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } \frac{-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=-\frac{1}{2}}\)

czyli \(\displaystyle{ b=-\frac{1}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 5 paź 2007, o 21:24 przez matekleliczek, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

granica z parametremi

Post autor: Lorek » 5 paź 2007, o 16:29

matekleliczek pisze: z ostatniego zapisu wynika, że
No moim zdaniem nie wynika, poza tym tam się zdaje pojawia symbol \(\displaystyle{ 0\cdot }\). W każdym razie ja bym sie pobawił sprzężeniem.

Awatar użytkownika
matekleliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 17 razy

granica z parametremi

Post autor: matekleliczek » 5 paź 2007, o 16:49

no właśnie
tam jest \(\displaystyle{ \infty }\) "coś" =pewna liczba

i gdyby tym czymś było nieskończoność to nie wyjdzie liczba w wyniku, jeśli będzie liczba to też nie wyjdzie liczba, tylko w tedy gdy będzie tam zero to w tedy wyjdzie symbol nie oznaczony czyli istnieje możliwość, że w wyniku otrzymamy liczbę.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

granica z parametremi

Post autor: Lorek » 5 paź 2007, o 20:52

Lepiej to zrobić tak:
dla \(\displaystyle{ a\leq 0}\) granica to \(\displaystyle{ \infty}\)
dla a>0:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-x+1}-(ax+b)=\frac{x^2-x+1-(ax+b)^2}{\sqrt{x^2-x+1}+ax+b} =\frac{x^2-x+1-a^2x^2-2abx-b^2}{\sqrt{x^2-x+1}+ax+b}= \\=\frac{x^2(1-a^2)+x(-1-2ab)+1-b^2}{\sqrt{x^2-x+1}+ax+b}}\)
I teraz żeby granica była równa 0 to oczywiści st. licznika

Awatar użytkownika
matekleliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 17 razy

granica z parametremi

Post autor: matekleliczek » 5 paź 2007, o 21:23

no fakt masz racje
a po mojemu może być czy nie bardzo ? ?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

granica z parametremi

Post autor: Lorek » 6 paź 2007, o 11:10

matekleliczek pisze: \(\displaystyle{ \lim_{x\to } x(\sqrt {1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a)=b}\)

z ostatniego zapisu wynika, że
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\sqrt {1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a)=0}\)
Ten fragment mi się nie podoba, choć na upartego to jest prawdziwy (chyba).

ODPOWIEDZ