Prośba o wytłumaczenie oznaczenia pochodnej

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
ziomal22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 5 paź 2007, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Prośba o wytłumaczenie oznaczenia pochodnej

Post autor: ziomal22 » 5 paź 2007, o 16:07

Witam, mam pewien problem ze zrozumieniem oznaczenia pochodnej. Samą pochodną miałem w liceum, ale nie rozumiem za bardzo takiego równania:

\(\displaystyle{ vx = \frac{dx}{dt}}\)

Czy istnieje do tego oznaczenia jakieś równoważne? Na forum wyczytałem, że to pochodna po czasie, ale czym to się różni od zwykłej pochodnej? Proszę o odpowiedź i z góry dziękuję.
Pozdrawiam
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lady Tilly
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

Prośba o wytłumaczenie oznaczenia pochodnej

Post autor: Lady Tilly » 5 paź 2007, o 16:17

Tutaj masz to ładnie wyjaśnione.

ziomal22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 5 paź 2007, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Prośba o wytłumaczenie oznaczenia pochodnej

Post autor: ziomal22 » 5 paź 2007, o 19:46

Dziękuję Ci Lady Tilly za ten link!
Mam jeszcze jednak 2 pytania:

1) Na podanej stronie widnieje wzór:
\(\displaystyle{ \vec{a} = \frac{\frac{d\vec{r}}{dt}}{dt} = \frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}}\)
Dlaczego w liczniku do kwadratu podniesione jest "d", a w mianowniku tylko "t"? Czy to jakaś umowna kwestia pisowni?

2) Mam takie równanie:
\(\displaystyle{ vx = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(x' + vt') = \frac{d}{dt'}(x' + vt')\frac{dt'}{dt} = \frac{dx'}{dt'} + \frac{d}{dt}(vt') = vx' + v}\)
Po pisemnym rozpisaniu wyrażenia między trzecim i czwartym znakiem "równa się", czyli:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt'}(x' + vt')\frac{dt'}{dt}}\)
wychodzi mi , że ułamek znajdujący się zaraz po czwartym znaku "równa się" wgląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{dx'}{dt}}\)
czyli nie ma prim. Dlaczego ma? Może ktoś pokazać jak rozpisać ten fragment (wydaje się banalne, ale chyba czegoś nie rozumiem).

Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Undre
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1430
Rejestracja: 15 lis 2004, o 02:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja:
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 92 razy

Prośba o wytłumaczenie oznaczenia pochodnej

Post autor: Undre » 5 paź 2007, o 20:44

ziomal22 pisze:Dlaczego w liczniku do kwadratu podniesione jest "d", a w mianowniku tylko "t"? Czy to jakaś umowna kwestia pisowni?
taki sobie "konwenans"

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Prośba o wytłumaczenie oznaczenia pochodnej

Post autor: Amon-Ra » 6 paź 2007, o 10:37

ziomal22 pisze:Na podanej stronie widnieje wzór:
\(\displaystyle{ \vec{a} = \frac{\frac{d\vec{r}}{dt}}{dt} = \frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}}\)
Dlaczego w liczniku do kwadratu podniesione jest "d", a w mianowniku tylko "t"? Czy to jakaś umowna kwestia pisowni?
Tak to jest, jak się bazuje na materiałach, które treści akademickiej mają tyle, co kot napłakał.

Zapis z tej strony jest błędny - nie istnieje coś takiego, jak \(\displaystyle{ \frac{\frac{d\vec{r}}{dt}}{dt}}\).

Pochodna jest odwzorowaniem liniowym, wyposażonym w swój własny operator \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}}\), który spełnia warunki addytywności i jednorodności. Wiedząc, iż przyspieszenie to zmiana prędkości w czasie, można zapisać, iż \(\displaystyle{ \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)=\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}}\). Nie jest to żaden kwadrat, a złożenie operatorów - możesz to sobie rozpisać tak:

\(\displaystyle{ a=\frac{d}{dt}\left(\frac{d}{dt} r(t)\right)=\left(\frac{d}{dt} \frac{d}{dt}\right)r(t)=\frac{d^2 r}{dt^2}}\)
ziomal22 pisze:2) Mam takie równanie:
\(\displaystyle{ vx = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(x' + vt') = \frac{d}{dt'}(x' + vt')\frac{dt'}{dt} = \frac{dx'}{dt'} + \frac{d}{dt}(vt') = vx' + v}\)
Po pisemnym rozpisaniu wyrażenia między trzecim i czwartym znakiem "równa się", czyli:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt'}(x' + vt')\frac{dt'}{dt}}\)
wychodzi mi , że ułamek znajdujący się zaraz po czwartym znaku "równa się" wgląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{dx'}{dt}}\)
czyli nie ma prim. Dlaczego ma? Może ktoś pokazać jak rozpisać ten fragment (wydaje się banalne, ale chyba czegoś nie rozumiem).
Nie bez kozery zastosowano tam dodatkowy wyraz \(\displaystyle{ \frac{dt'}{dt}}\). Po rozpisaniu wyrażenia otrzymujesz:

\(\displaystyle{ \frac{dx'}{dt'}\cdot \frac{dt'}{dt}+\frac{d(vt')}{dt'}\cdot \frac{dt'}{dt}}\)

Przy założeniu istnienia związku \(\displaystyle{ t'=t'(t)}\), powyższe to tak naprawdę definicja pochodnej funkcji złożnej:

\(\displaystyle{ \frac{dx'}{dt'}\cdot \frac{dt'}{dt}=\frac{dx'}{dt} \\ \frac{d(vt')}{dt'}\cdot \frac{dt'}{dt}=\frac{d(vt')}{dt}}\)

ODPOWIEDZ