W prostokącie ABCD o długościach boków...

Maciejjjj · Post autor: **Maciejjjj** » 27 lut 2005, o 15:56

W prostokącie ABCD o długościach boków: AB=10cm, AD=8cm obrano dwa punkty wewnętrzne M i N, takie że MN prostopadłe do AB i AM=MD=NC=NB. Wyznacz odległość punktów M i N tak, aby suma kwadratów długości odcinków AM, DM, NM, NB, NC była jak najmniejsza.

z góry dzięki za wszelką pomoc

pozdrawiam

Rav_DuCe · Post autor: **Rav_DuCe** » 27 lut 2005, o 18:55

Wg mnie odcinek MN powinien leżeć na prostej prostopadłej do prostej na której leży odcinek AD (a nie AB), ażeby zaszły warunki podane w zadaniu (a może się myle). Ponadto M i N muszą leżeć na osi tego prostokąta przechodzącej przez środki odcinkó AD i BC. Odlegość M od AD i N od BC jest taka sama.

10-2x - dlugość odcinka MN
x- odległość puntku M od odcinka AD

z trójkąta AEM gdzie E to punkt leżący w połowie boku AD
\(\displaystyle{ |AM|^{2} =4^{2}+x^{2}}\)
\(\displaystyle{ |AM|=\sqrt{x^2+16}}\)
czyli funkcja wyrażająca sume kwadratów długości tych odcinków przyjmuje postać
\(\displaystyle{ f(x)=4(sqrt{x^2+16})^2+(10-2x)^{2}}\)
z wyznaczeniem minimum nie powinieneś mieć problemów

chef · Post autor: **chef** » 27 lut 2005, o 20:23

Rav_DuCe pisze:Wg mnie odcinek MN powinien leżeć na prostej prostopadłej do prostej na której leży odcinek AD (a nie AB)

Niestety, z całą pewnością chodzi o odcinek AB.

Rav_DuCe pisze:z wyznaczeniem minimum nie powinieneś mieć problemów

No jasne

(Maciejjj = Chef )