Matematyka.pl

Cześć,
czy mając takie polecenie na kolokwium mam w domyśle traktować, że chodzi o szereg potęgowy i korzystać ze znanego wzoru z lim sup lub z d'Alemberta?

Konkretnie chodzi mi o taki szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ (x-1)^{2n} }{ 3^{n} n^{4} }}\)

I wychodzi na to, że trzeba tu jakoś przekształcić do postaci takiej jak szereg potęgowy (czyli \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ (x-x_0)^n}\))? Czy trzeba to rozumieć jakoś ogólniej?

No tak, chodzi o szereg potęgowy.
Podstaw \(\displaystyle{ t=\frac{(x-1)^2}{3}}\) i masz szereg
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{t^n}{n^4}}\),
z kryterium d'Alemberta zastosowanego do szeregu wartości bezwzględnych wynika, że jest on (nawet bezwzględnie) zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |t|<1}\) i rozbieżny, gdy \(\displaystyle{ |t|>1}\) (chociaż polecam jednak wzór Cauchy'ego-Hadamarda, ponieważ ma on szerszy zakres stosowalności, tj. są przypadki, w których d'Alembert nie zadziała, gdyż np. rozważana granica nie będzie istniała, zaś granica górna istnieje zawsze), na brzegach bezpośrednim podstawieniem \(\displaystyle{ t=\pm 1}\) sprawdzasz, że jest zbieżny,
czyli podsumowując, jeśli
\(\displaystyle{ \left| \frac{(x-1)^2}{3} \right|\le 1}\), to szereg jest zbieżny, zaś jeśli
\(\displaystyle{ \left| \frac{(x-1)^2}{3} \right|> 1}\), to szereg jest rozbieżny, a to już są nierówności ze szkoły średniej.

A mając taki szereg? Wtedy takie podstawienie nie pójdzie, bo zostaje \(\displaystyle{ x^2}\) :/

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ x^{n+2} }{ 3^{n} (n+4) }}\)

To \(\displaystyle{ x^2}\) nie ma żadnego znaczenia dla zbieżności, można je ordynarnie wywalić.
A jak ktoś uważa, że to za mało ścisłe, to może potraktować \(\displaystyle{ x}\) jak parametr, do szeregu wartości bezwzględnych zastosować kryterium d'Alemberta i wyjdzie z tego kryterium dokładnie taki sam warunek, jak dla \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ x^{n} }{ 3^{n} (n+4) }}\).