Matematyka.pl

Dany jest kąt ostry o wierzchołku \(\displaystyle{ O}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\) leżący wewnątrz tego kąta. Na różnych ramionach kąta wyznaczyć punkty \(\displaystyle{ X,Y}\) spełniające równość \(\displaystyle{ OX=OY}\), dla których suma \(\displaystyle{ PX+PY}\) jest najmniejsza.

Jakaś wskazówka co do tego?

rozważ punkt symetryczny do \(\displaystyle{ P}\) względem dwusiecznej rozważanego kąta

Niestety jestem dzisiaj już zmęczony i nie widzę jak to dalej rozwiązywać. Narysowałem punkt \(\displaystyle{ P'}\) symetryczny względem dwusiecznej rozważanego kąta i oznaczyłem jako \(\displaystyle{ S}\) przecięcie odcinka \(\displaystyle{ XP'}\) z dwusieczną. Teraz trzeba tak zrobić, aby trójkąt \(\displaystyle{ XPS}\) miał najmniejszy obwód. Jednak nie wiem co dalej. Proszę o jakieś dalsze wskazówki.

dalsza wskazówka: \(\displaystyle{ PX+PY=PX+P'X}\)

Tak widziałem tą zależność, ale nie wiem jak zminimalizować tą sumę. Jedna z możliwości jest taka, aby punkt \(\displaystyle{ X}\) ustawić na prostej \(\displaystyle{ PP'}\), ale nie wiem czy tędy droga. Pewnie jest jakieś lepsze wyjście.

a no właśnie, a minimalizowanie tej sumy to klasyczny problem

optymalny punkt \(\displaystyle{ X}\) będzie miał tę własność, że "kąt padania równa się kątowi odbicia", a do dowodu można rozważyć punkt \(\displaystyle{ P''}\) --- odbicie punktu \(\displaystyle{ P'}\) względem prostej \(\displaystyle{ OX}\), i z nierówności trójkąta wnioskować, że \(\displaystyle{ PP'' \le PX+P''X = PX+P'X}\)

No okej, ale chwila bo czegoś nie rozumiem. To jak w takim razie wyznaczamy punkt \(\displaystyle{ X}\)? I skąd wiadomo, że wtedy kąt padania równa się kątowi odbicia?

Aha chociaż mnie chyba olśniło. Chyba wiem. Z tego co piszesz by wynikało, że \(\displaystyle{ X}\) można wyznaczyć tak: Tworzymy punkt \(\displaystyle{ P'}\) symetryczny do \(\displaystyle{ P}\) względem dwusiecznej kąta i odbijamy symetrycznie te dwa punkty \(\displaystyle{ P',P}\) odpowiednio na punkty \(\displaystyle{ P'',P'''}\) względem prostej \(\displaystyle{ OX}\). Prowadzimy proste \(\displaystyle{ PP''}\) i \(\displaystyle{ P'P'''}\). Wówczas w miarę oczywiste jest, że te proste przetną się w jednym punkcie z prostą \(\displaystyle{ OX}\), bo \(\displaystyle{ P,P'}\) są symetryczne do \(\displaystyle{ P'',P'''}\) względem prostej \(\displaystyle{ OX}\). Wówczas właśnie kąt padania równa się kątowi odbicia, a suma \(\displaystyle{ PX+PY=PP''}\) i jak weźmiemy dowolny inny punkt \(\displaystyle{ X'}\) na tej samej prostej co \(\displaystyle{ X}\) to odległość \(\displaystyle{ PX'+PY'=PX'+P''X'>PP''}\).

Czy tak jest dobrze?

no tak