Suma odwrotności kwadratów

[Percepton]

Wykaż, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2} \le 2}\)

Wiem, że taki ciąg gdy jest nieskończony to zbiega do \(\displaystyle{ \frac{\pi^2}{6}}\) co w zasadzie zamyka zadanie, lecz nie mogę z tego skorzystać i muszę operować na podstawach po miesiącu na uczelni

[a4karo]

Wsk \(\displaystyle{ n^2>n(n-1)}\)

[Janusz Tracz]

Ale możesz to oszacować i zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) pisać \(\displaystyle{ \frac{1}{n\left( n-1\right) }}\) wtedy

\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2} \le 1+ \sum_{k=2}^{ \infty }\frac{1}{k\left( k-1\right) } =2}\)

albo jeśli nie chcesz tak to spróbuj indukcyjnie.

[Premislav]

Co do indukcji, to trzeba tezę jakoś wzmocnić, np. do postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2} \le 2-\frac 1 n}\)
Inaczej się nie da, gdyż założenie indukcyjne jest zbyt słabe.

[Percepton]

Ale możesz to oszacować i zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) pisać \(\displaystyle{ \frac{1}{n\left( n-1\right) }}\) wtedy

\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2} \le 1+ \sum_{k=2}^{ \infty }\frac{1}{k\left( k-1\right) } =2}\)

albo jeśli nie chcesz tak to spróbuj indukcyjnie.

Czy na pewno możemy tak odważnie przeskoczyć z sumy \(\displaystyle{ n}\) czynników do sumy nieskończenie wielu czynników?

-- 2 lis 2018, o 22:55 --

Co do indukcji, to trzeba tezę jakoś wzmocnić, np. do postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2} \le 2-\frac 1 n}\)
Inaczej się nie da, gdyż założenie indukcyjne jest zbyt słabe.

Nie bardzo rozumiem o co chodzi z tym założeniem, które jest zbyt słabe. Co masz przez to ściślej na myśli? I dlaczego akurat dodałeś \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) - czy to po prostu po to by była jakaś zmienna?

[Premislav]

Jeżeli będziemy próbowali bezpośrednio udowodnić indukcyjnie, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2} \le 2}\), to nam nie wyjdzie krok indukcyjny, bo z założenia, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2} \le 2}\) nie da się wycisnąć tego, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2} \le 2}\),
a po wzmocnieniu do postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2} \le 2-\frac 1 n}\)
elegancko wychodzi. A odjąłem (nie dodałem) akurat \(\displaystyle{ \frac 1 n}\), a nie coś innego, bo jestem doświadczony i dzięki temu zauważyłem, że to zadziała. Rozwiązanie, do którego prowadzi wskazówka a4karo jest znacznie bardziej naturalne niż indukcja w tym przypadku.

[Janusz Tracz]

Czy na pewno możemy tak odważnie przeskoczyć z sumy \(\displaystyle{ n}\) czynników do sumy nieskończenie wielu czynników?

Można bo jeśli zadziała dla \(\displaystyle{ \infty}\) wielu sumowanych czynników to tym bardziej zadziała dla skocznie wielu \(\displaystyle{ n}\) czynników. Poza tym nie tzreba tego robić można po prostu pokazać że:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2} \le 1+ \sum_{k=2}^{ n }\frac{1}{k\left( k-1\right) }}\)

a potem osobno pokazać że:

\(\displaystyle{ 1+ \sum_{k=2}^{ n }\frac{1}{k\left( k-1\right) } \le 2}\)

i skorzystać z przechodniość nierówności.

[Percepton]

Jeśli chciałbym udowodnić zbieżność tego ciągu to muszę pokazać, że jest on ściśle rosnący i ograniczony od góry, tak?
Stąd dopytywałem o tę granicę. A jest opcja na pokazanie zbieżności bez tego zabiegu czy tylko tak się to robi?

[Premislav]

To jest pewna możliwość, ale niejedyna.
Można też udowodnić, że jest to ciąg Cauchy'ego (tj. spełnia warunek Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ (\forall \epsilon>0)(\exists N_{\epsilon}\in \NN)(\forall m, n\in \NN)(\min(m, n)>N_{\epsilon} \Rightarrow |a_m-a_n|<\epsilon)}\)). Każdy ciąg Cauchy'ego liczb rzeczywistych jest zbieżny (oczywiście rozważamy tu metrykę euklidesową w \(\displaystyle{ \RR}\), gdzie odległością między liczbami rzeczywistymi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) jest wartość bezwzględna ich różnicy).

[Janusz Tracz]

A jeśli mówisz o \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ n }\frac{1}{k\left( k-1\right) }}\) to udowodnienie zbieżności to za mało bo chcemy wiedzieć że to jest zbieżne i w dodatku co najwyżej równe \(\displaystyle{ 2}\), wtedy rzeczywiście ograniczenie będzie wystarczająco mocne. Tak się jednak skalda że sumę to można łatwo policzyć bo się teleskopuje. Zauważywszy że \(\displaystyle{ \frac{1}{k(k-1)}= \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}}\) zauważamy że prawie wszystkie składniki sumy się skracają i zostaje:

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ n }\frac{1}{k\left( k-1\right) }=\sum_{k=2}^{ n }\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} =1- \frac{1}{n}}\)

W tym momencie też widać skąd Premislav wymyślił swoje oszacowanie...
Dowiedliśmy że skoro \(\displaystyle{ n^2 \ge n(n-1)}\) to

\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2} \le 1+ \sum_{k=2}^{ n }\frac{1}{k\left( k-1\right) }}\)

A ponieważ suma to się daje policzyć to

\(\displaystyle{ \frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + ... +\frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n} \le 2}\)

[Percepton]

Ciekawe podejście, na pewno w dalszych etapach nauki analizy mi się przyda. A pomęczę jeszcze trochę.
Jeśli oznaczę \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = q_n}\) oraz \(\displaystyle{ lim(q_n) = 1}\) to mam rację, że ten ciąg jest zbieżny? Nie widzę nigdzie takiego twierdzenia, udowodnienia tego wymyślunku też mi nie wychodzi (nie wiem czy to prawdziwe, po prostu tak mi się wydaję, więc nie ręczę za to) a jakoś wydaje się rozsądne (choć mogę się mylić) i chciałbym się upewnić...

nawet jeśli ciąg byłby
\(\displaystyle{ n\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1...}\) to teoretycznie jest zbieżny do \(\displaystyle{ n}\)

[Janusz Tracz]

Jeśli oznaczę \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = q_n}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n } (q_n) = 1}\) to mam rację, że ten ciąg jest zbieżny?

Ten ciąg to znaczy który? No \(\displaystyle{ q_n}\) jest zbieżny z definicji bo to sam zakładasz a \(\displaystyle{ a_n}\) nie musi być zbieżny (może być ale nie musi np \(\displaystyle{ a_n=n}\) nie jest a to spełnia).

Nie jestem pewien po co Ci to ale chyba chcesz nawiązać do jednego z kryteriów zbieżności szeregów? Problem w tym że w tym zadaniu nie ma szeregów tylko jest suma, a nawet jeśli pojawi się tu szereg to to kryterium nie będzie się do niego stosować.

nawet jeśli ciąg byłby
\(\displaystyle{ n\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1...}\) to teoretycznie jest zbieżny do \(\displaystyle{ n}\)

Absolutnie nie. Ciągi \(\displaystyle{ a_n}\) nie może być zbieżny do ciągu. Ciąg \(\displaystyle{ a_n=n\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1...}\) to po prostu \(\displaystyle{ a_n=n}\) i jest to ciąg rozbieżny do \(\displaystyle{ + \infty}\)