Całka powierzchniowa skierowana

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
arti88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 18 lis 2012, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 1 raz

Całka powierzchniowa skierowana

Post autor: arti88 » 2 lis 2018, o 18:25

Witam.
Mam do policzenia całkę skierowaną
\(\displaystyle{ \iint_{S}x \mbox{d}y \mbox{d}z +xy \mbox{d}x \mbox{d}z + xyz \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
gdzie S to górna strona powierzchni
\(\displaystyle{ z=4, x^{2}+ y^{2}=1}\)
Do obliczania tego typu całek używałem do tej pory wzoru
\(\displaystyle{ \iint_{S} P \mbox{d}y \mbox{d}z + Q \mbox{d}x \mbox{d}z+Q \mbox{d}x \mbox{d}y= \iint_{D} [ -P\left(x,y, h\left( x,y\right) \right) h' _{x}\left( x,y\right) -Q \left(x,y, h\left( x,y\right) \right) h' _{y}\left( x,y\right) +R \left(x,y, h\left( x,y\right) \right) ] \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Jak zabrać się do tego w takim przypadku ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Całka powierzchniowa skierowana

Post autor: janusz47 » 2 lis 2018, o 20:16

Innymi słowy mamy obliczyć wartość strumienia wektora pola:

\(\displaystyle{ \vec{F} = x\vec{e}_{x} + xy \vec{e}_{y} + xyz \vec{e}_{z},}\)

przez górną stronę powierzchni \(\displaystyle{ S}\) ograniczonej kołem jednostkowym \(\displaystyle{ x^2+y^2 \leq 1}\) i płaszczyzną \(\displaystyle{ z = 4.}\)

Do obliczenia tej całki (wartości strumienia) proponuję skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ \iint_{(S)}\vec{F}d\vec{S}= \iint_{(D)}\vec{F}(\vec{r}(u,v))\cdot (\vec{t}_{u}\times \vec{t}_{v}) du dv \ \ (1)}\)

Wprowadzamy naturalną parametryzację:

\(\displaystyle{ x(\rho, \phi) = \rho \cos(\phi), \ \ y(\rho, \phi) = \rho\sin(\phi), \ \ z = 4.}\)

\(\displaystyle{ 0\leq \rho \leq 1, \ \ 0\leq \phi < 2\pi.}\)

\(\displaystyle{ \vec{t}_{\rho}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial \rho}=\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\sin(\phi)\vec{e}_{y},}\)

\(\displaystyle{ \vec{t}_{\phi} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi}= -\rho \sin(\phi)\vec{e}_{x}+ \rho\cos(\phi)\vec{e}_{y}.}\)

\(\displaystyle{ \vec{t}_{\rho}\times \vec{t}_{\phi}=(\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\sin(\phi)\vec{e}_{y})\times(-\rho \sin(\phi)\vec{e}_{x}+ \rho\cos(\phi)\vec{e}_{y}) = \rho \vec{e}_{z}.}\)

Jak widzimy, wektor ten jest wektorem normalnym skierowanym do góry , a zatem orientacja , na którą zdecydowaliśmy się, wybierając parametr \(\displaystyle{ \rho}\) jako pierwszy, a \(\displaystyle{ \phi}\) jako drugi (czyli wektor \(\displaystyle{ \vec{t}_{\rho}}\) jako pierwszy, \(\displaystyle{ \vec{t}_{\phi}}\) jako drugi) zgodna jest z podaną w treści zadania.

Proszę skompletować wzór (1) - podstawiając powyższe dane i obliczyć całkę.

arti88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 18 lis 2012, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 1 raz

Całka powierzchniowa skierowana

Post autor: arti88 » 7 lis 2018, o 12:13

Ok, dziękuję. Mam jeszcze pytanie. Jak będzie wyglądał \(\displaystyle{ \vec{r}(u,v)}\) ?
Niejasne jest dla mnie jak powstają
\(\displaystyle{ \vec{t}_{\rho}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial \rho}=\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\sin(\phi)\vec{e}_{y},}\)
\(\displaystyle{ \vec{t}_{\phi} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi}= -\rho \sin(\phi)\vec{e}_{x}+ \rho\cos(\phi)\vec{e}_{y}}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Całka powierzchniowa skierowana

Post autor: janusz47 » 7 lis 2018, o 13:15

Wektory styczne do powierzchni \(\displaystyle{ \vec{t}_{\rho}, \ \ \vec{t}_{\phi}}\) są pochodnymi cząstkowymi odpowiednio względem \(\displaystyle{ \rho}\) i \(\displaystyle{ \phi}\) wektora:
\(\displaystyle{ \vec{r}(u,v) = \vec{r}( \rho, \phi)) = \rho\cos(\phi) \vec{e}_{x} + \rho \sin(\phi)\vec{e}_{y}.}\)

arti88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 18 lis 2012, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 1 raz

Całka powierzchniowa skierowana

Post autor: arti88 » 7 lis 2018, o 13:37

Ok, rozumiem.
Jeśli chodzi o czynnik \(\displaystyle{ \vec{F}(\vec{r}(u,v))}\) biorąc pod uwagę powyższe podstawienie, to będzie
\(\displaystyle{ \vec{F} (\vec{r}(u,v))=\left[\rho \cos(\phi) , \rho \cos(\phi) \cdot \rho\sin(\phi) , \rho \cos(\phi) \cdot \rho\sin(\phi) \cdot 4 \right]}\) ?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Całka powierzchniowa skierowana

Post autor: janusz47 » 7 lis 2018, o 13:39

Tak. Pod znakiem całki pamiętamy o iloczynie skalarnym wektorów \(\displaystyle{ \vec{F}}\) i \(\displaystyle{ \vec{t_{\rho}}\times \vec{t}_{\phi}}.}\)

arti88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 18 lis 2012, o 13:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 1 raz

Całka powierzchniowa skierowana

Post autor: arti88 » 7 lis 2018, o 13:57

Dobrze. Dziękuję za pomoc

ODPOWIEDZ