Matematyka.pl

Dla jakiego parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie\(\displaystyle{ (m-3)9^x-(2m+6)3^x+m+2=0}\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?

Podstawiając \(\displaystyle{ t=3^x}\) otrzymujemy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ (m-3)t^2-(2m+6)t+m+2=0}\)

Równanie ma dwa pierwiastki gdy \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)

Zatem: \(\displaystyle{ (2m+6)^2-4(m-3)(m+2)>0 \\ m>- \frac{15}{7}}\)

Niestety to nie jest prawidłowa odpowiedź. Gdzie jest błąd? Pewnie przy podstawieniu trzeba coś założyć/zauważyć lecz niestety nie mam pomysłu.

Równanie ma dwa pierwiastki, gdy \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)

No fajnie, ale jeszcze ważne jest, by te pierwiastki były dodatnie, gdyż \(\displaystyle{ t=3^x>0}\).
Oba pierwiastki są dodatnie dokładnie wtedy, gdy zarówno ich iloczyn, jak i suma są liczbami dodatnimi, więc ze wzorów Viete'a można dopisać dwa proste warunki.

Dzięki! I jeszcze \(\displaystyle{ m \neq 3}\), aby było równanie kwadratowe.