Matematyka.pl

Chcę wykazać że jeśli \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N_{+}}}\) to prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{2n}{2n-1} \leq \sqrt[n]{2}}\)
Próbowałem to robić indukcyjnie przez oszacowanie nierównością Bernoulliego, jednak to mi nic nie daje.

Adam

Jeżeli nie wymagasz indukcji to wystarczy skorzystać z powszechnego dowodu, że \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n}\right) ^{n} < 3}\), dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{2n - 1}\right) ^{2n-1} < 3 \Rightarrow \left( 1 + \frac{1}{2n - 1}\right) ^{2n} < 3\left( 1 + \frac{1}{2n-1} \right) \le 3 \cdot \frac{4}{3} = 4 \Rightarrow \left( 1 + \frac{1}{2n-1}\right)^{n} \le 2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\).

Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) oczywiście nierówność jest prawdziwa.
Z nierówności pomiędzy średnimi \(\displaystyle{ AM \ge GM}\) mamy, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2} \le \frac{2n-1}{n} \Rightarrow 2n - 1 \ge n 2^{\frac{n-1}{n}} \Rightarrow \left( 2n-1\right) 2^{\frac{1}{n}} \ge n \cdot 2^{\frac{1}{n}} \cdot 2^{\frac{n-1}{n}} = 2n}\)
Jeżeli chcesz indukcyjnie to pokaż etap na którym się zatrzymujesz.

Jeśli przyjrzymy się ciągowi \(\displaystyle{ a_n=\left( 1+ \frac{1}{2n-1} \right)^n}\) to można pokazać że jest on malejący więc \(\displaystyle{ a_n \le a_1=2}\). By pokazać że jest ona malejący zapiszmy

\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n+1}}=\left( \frac{2n(2n+1)}{(2n+2)(2n-1)} \right)^n \cdot \left( \frac{2n+1}{2n+2} \right)}\)

Teraz korzystając z nierówność Bernoulliego do wyrażenia podnoszonego do \(\displaystyle{ n}\) tej potęgi mamy

\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n+1}}=\left( \frac{2n(2n+1)}{(2n+2)(2n-1)} \right)^n \cdot \left( \frac{2n+1}{2n+2} \right) \ge \left( 1+ \frac{n}{2n^2+n-1} \right)\cdot \left( \frac{2n+1}{2n+2} \right)}\)

a dalej że:

\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n+1}}\ge \left( 1+ \frac{n}{2n^2+n-1} \right)\cdot \left( \frac{2n+1}{2n+2} \right)= \frac{4n^3+6n^2-1}{4n^3+6n^2-2} \ge 1}\)

Dlatego \(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n+1}}\ge 1}\). Mając to wiemy że:

\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{2n-1} \right)^n \le 2}\)

a to jest równoważne z tezą.

Zahion nie nie potrzebuje indukcyjnie. Dzięki.