Metodą residuów wyznacz orginał transformaty Z

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
kainita90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 16 lis 2016, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piątek

Metodą residuów wyznacz orginał transformaty Z

Post autor: kainita90 » 30 paź 2018, o 16:36

\(X(z) = \frac{z+2}{(z+\frac{1}{3})^2}\)

Dochodzę do momentu:

\(\lim_{z\to\--1/3} \frac{z+2}{z+\frac{1}{3}} \cdot z^{n-1}\)

co dalej ? kompletnie się zaciąłem...
Ostatnio zmieniony 30 paź 2018, o 18:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w pojedynczych tagach [latex] [/latex], a nie po kawałku.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Metodą residuów wyznacz orginał transformaty Z

Post autor: janusz47 » 30 paź 2018, o 23:08

Transformata posiada biegun dwukrotny \(s_{0}=-\frac{1}{3}.\)

\(res_{s = -\frac{1}{3}}\left[ X(s)e^{st}\right] = \frac{1}{(2-1)!}\lim_{s\to -\frac{1}{3}}\frac{d}{ds}\left[\frac{(s+2)}{(s +\frac{1}{3})^2}(s+\frac{1}{3})^2 e^{st}\right]\)

\(res_{s =-\frac{1}{3}}\left[ X(s)e^{st}\right] = 1\cdot e^{-\frac{1}{3}}+\lim_{s \to -\frac{1}{3}}(s+2)te^{-\frac{1}{3}t}= e^{-\frac{1}{3}t} + \left(-\frac{1}{3}+2\right)t e^{-\frac{1}{3}t} =\\ = \frac{1}{3}(3 +5t)e^{-\frac{1}{3}t}.\)

ODPOWIEDZ