Matematyka.pl

Z przedziału [0,1] wybieramy losowo dwa punkty x i y.
Niech \(\displaystyle{ A_t = \{(x,y) \in [0,1]^2 : x \le t\}}\) dla \(\displaystyle{ t \in \RR}\), a
\(\displaystyle{ B = \{(x,y) \in [0,1]^2 : x + y \le 1\}}\).
Dla jakich wartości \(\displaystyle{ t \in \RR}\) zdarzenia \(\displaystyle{ A_t}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne?

Obliczyłam, że
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(A_t)=1t}\)

Musimy rozważyć przypadki gdy:
1) \(\displaystyle{ t \le 0}\)
2) \(\displaystyle{ t \in (0,1]}\)
3) \(\displaystyle{ t \in (1, \infty)}\)

Niezależność:
\(\displaystyle{ P(A_t \cap B)=P(A_t)P(B)}\)

Zatem
1) \(\displaystyle{ P(A_t \cap B)=0}\) , \(\displaystyle{ P(A_t)=0}\), \(\displaystyle{ P(B)= \frac{1}{2}}\)
czyli równość zachodzi dla \(\displaystyle{ t=0}\)

2) \(\displaystyle{ P(A_t \cap B)= \frac{2t-t^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2t-t^2}{2}= \frac{1}{2}t}\)
zatem \(\displaystyle{ t=0 \vee t=3}\)

3) \(\displaystyle{ P(A_t \cap B)=P(B)}\)
zatem \(\displaystyle{ t=1}\) bo \(\displaystyle{ P(A_t \cap B)= \frac{1}{2}}\)

Czyli tylko dla \(\displaystyle{ t=1 \wedge t=0}\) zdarzenia są niezależne?

Jest strasznie przekombinowane, więc sam rozwiążę
Dla \(\displaystyle{ t\in[0, 1]}\)
\(\displaystyle{ P(A_t\cap B) = 1/2 - (1-t)^2/2}\)

\(\displaystyle{ P(A_t\cap B) = P(A_t)P(B) \implies 1/2 - (1-t)^2/2 = t/2 \implies t=0 \,\lor\, t=1}\)

Dla \(\displaystyle{ t>1}\), \(\displaystyle{ A_t = \Omega}\), i niezależność zachodzi automatycznie.

Dla \(\displaystyle{ t<0}\), \(\displaystyle{ A_t = \emptyset}\), i też zachodzi automatycznie.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ t\leq 0 \,\lor\,t\geq 1}\).