Matematyka.pl

Przepraszam, jeśli pomyliłem dział. Ten wydawał mi się najodpowiedniejszy.

Mój problem jest taki. Mam ciąg funkcji holomorficznych \(\displaystyle{ f_n}\) zbieżny do \(\displaystyle{ f}\) w sensie przestrzeni Hilberta, tzn.
\(\displaystyle{ \int_X |f_n - f|^2 \rightarrow 0.}\)
Chciałbym móc dokonać przejścia
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int f_n = \int \lim_{n \to \infty} f_n,}\)
jednakże o ciągu \(\displaystyle{ f_n}\) nie wiem ani że jest on monotoniczny. Czy da się to zrobić?

Twierdzenie o zbieznosci zmajoryzowanej da sie zastoowac?

Założenia mam takie, jak powyżej. Myślałem nad tym, że skoro ciąg funkcyjny jest zbieżny w sensie przestrzeni Hilberta, to może jestem w stanie znaleźć oszacowanie górne dla ciągu funkcji, które byłoby całkowalne z kwadratem, a zatem również i całkowalne, jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma skończoną miarę. Mój pomysł jest taki, że wiemy, iż granica jest całkowalna z kwadratem, a od pewnego momentu wszystkie wyrazy ciągu leżą bliżej granicy niż \(\displaystyle{ \epsilon}\), z kolei z wcześniejszej, skończonej liczby wyrazów, możemy wziąć punktowe maksimum, ale to chyba nie takie proste.

A czy umiesz pokazać, że \(\displaystyle{ f_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ f}\) punktowo?