Obalić lub udowodnić nierówność

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3706
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Obalić lub udowodnić nierówność

Post autor: arek1357 » 25 paź 2018, o 11:59

\(x,y>0 , x \in R\)


\(\sqrt[3]{xy}\left( 1+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{9}{1+x+y} \right) \ge \sqrt[3]{ \frac{(x+y)^2}{4} } \left( 1+ \frac{4}{x+y}+ \frac{9}{1+x+y} \right)\)

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2089
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie

Obalić lub udowodnić nierówność

Post autor: Zahion » 25 paź 2018, o 17:49

Dla \(x = 1, y = 512\) mamy, że czynnik przed nawiasem z lewej strony to \(8\), z prawej \(\sqrt[3]{ \frac{513^{2}}{4} } > 40\) Z lewej strony czynnik w nawiasie mniejszy niż \(3\) z prawej większy niż \(1\).
Ogólnie łatwo zauważyć, że przy odpowiednim doborze liczb wpływ mają czynniki przed nawiasami.

ODPOWIEDZ