Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (G _{1} ,* ^{1} )}\) oraz \(\displaystyle{ (G _{2} ,* ^{2} )}\) będą grupami.
Działanie \(\displaystyle{ * ^{3} : G _{1} \times G _{2} \rightarrow G _{1} \times G _{2}}\) określone jest jako:
\(\displaystyle{ (g _{1} ,g _{2} )* ^{3} (g _{1}' ,g _{2}' ) = ( g _{1} * ^{1} g _{1}', g _{2} * ^{2} g _{2}')}\)
Gdzie \(\displaystyle{ g _{1}, g _{1}' \in G _{1} , g _{2},g _{2}' \in G _{2}}\)
Pokaż że struktura \(\displaystyle{ (G _{1} \times G _{2}, * ^{3})}\) jest grupą.
Proszę o pomoc jak to wogóle ruszyć brzmi trochę jak czarna magia przypomina mi się tutaj
homomorfizm ale nie wiem co z tym zrobić.

Jeśli przez \(\displaystyle{ x}\) rozumiesz iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ \times}\) to do sprawdzenia są cztery warunki.

\(\displaystyle{ \bullet}\) działanie \(\displaystyle{ *^3}\) musi być wewnętrzne na \(\displaystyle{ G_1 \times G_2}\) czyli innymi słowy zbiór \(\displaystyle{ G_1 \times G_2}\) musi być zamknięty na \(\displaystyle{ *^3}\) i jest tak bo:

\(\displaystyle{ \forall \left[ \left( g_1,g_2\right),(g' _{1} ,g '_{2}) \in G_1 \times G_2\right] \ \ (g _{1} ,g _{2} )* ^{3} (g '_{1} ,g' _{2} ) = ( g _{1} * ^{1} g' _{1}, g _{2} * ^{2} g '_{2}) \in G_1 \times G_2}\)

A to jest prawdą bo z definicji wiemy że \(\displaystyle{ g _{1} * ^{1} g' _{1}\in G_1}\) oraz \(\displaystyle{ g _{2} * ^{2} g '_{2}\in G_2}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Łączność. Wybieramy trzy dowolne elementy \(\displaystyle{ G_1 \times G_2}\) i sprawdzamy czy zachodzi dla nich

\(\displaystyle{ \left[ \left( g_1,g'_1\right) *^3\left( g_2,g'_2\right) \right]*^3\left( g_3,g'_3\right)= \left( g_1,g'_1\right) *^3\left[ \left( g_2,g'_2\right)*^3\left( g_3,g'_3\right) \right]}\)

No zachodzi bo łączne są też działania \(\displaystyle{ *^1,*^2}\) więc strona lewa jak i prawa jest równa

\(\displaystyle{ \left( g_1*^1g_2*^1g_3,g'_1*^2g'_2*^2g'_3 \right)}\)

Bo nawiasy nie grają roli.

\(\displaystyle{ \bullet}\) element neutralny. Wiemy że istnieją elementary neutralne dla grup \(\displaystyle{ \left( G_1,*^1\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( G_2,*^2\right)}\) nazwijmy je odpowiednio \(\displaystyle{ e_1,e'_1}\). Wtedy dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ G_1 \times G_2}\)

\(\displaystyle{ \left( g_1,g'_1\right)*^3\left(e_1,e'_1 \right) =\left( g_1*^1e_1,g'_1*^2e'_1\right)=\left( g_1,g'_1\right)}\)

Więc w \(\displaystyle{ \left( G_1 \times G_2 , *^3\right)}\) naturalnym elementem jest \(\displaystyle{ \left(e_1,e'_1 \right)}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Odwracalność. Dla dowolnie wybranego \(\displaystyle{ \left( g_1,g'_1\right)\in G_1 \times G_2}\) istnieje taki \(\displaystyle{ \left( g_1,g'_1\right)^{-1}\in G_1 \times G_2}\) że

\(\displaystyle{ \left( g_1,g'_1\right)*^3\left( g_1,g'_1\right)^{-1}=\left( e_1,e'_1\right)}\)

łatwo taki znaleźć. Można wskazać na \(\displaystyle{ \left( g_1,g'_1\right)^{-1}=\left( g_1^{-1},\left( g'_1\right) ^{-1}\right)}\) jako że

\(\displaystyle{ \left( g_1,g'_1\right)*^3\left( g_1^{-1},\left( g'_1\right) ^{-1}\right)=\left(g_1*^1g_1^{-1},g'_1*^2\left( g'_1\right) ^{-1} \right)=\left( e_1,e'_1\right)}\)

Co kończy dowód i potwierdza fakt iż \(\displaystyle{ \left( G_1 \times G_2 , *^3\right)}\) jest grupą przy założeniach z treści zadania.