Czy ciąg jest ograniczony?

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Big_Boss1997
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 27 gru 2016, o 09:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Czy ciąg jest ograniczony?

Post autor: Big_Boss1997 » 11 paź 2018, o 16:53

Jak sprawdzić, czy ten ciąg jest ograniczony?

\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{ 2^{n} } \right)}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Czy ciąg jest ograniczony?

Post autor: Janusz Tracz » 11 paź 2018, o 17:01

Można na przykład zauważyć że zachodzi \(\displaystyle{ 1+x \le e^x}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) więc zachodzi również

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n}\left( 1+x_k\right) \le \exp\left( \sum_{k=1}^{n}x_k\right)}\)

kładąc \(\displaystyle{ x_k= \frac{1}{2^k}}\) dostajemy że

\(\displaystyle{ a_n\le \exp\left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}\right)<e}\)

ograniczenie dolne to oczywiście \(\displaystyle{ 0}\) więc ciąg jest ograniczony.

ODPOWIEDZ