Matematyka.pl

Mam problem z pewnym zadaniem, należy udowodnic, że :

NWD(m*a,m*b)=m*NWD(a,b)

Właściwie to chyba jest jasne, no ale... hmmm... można skorzystać z definicji NWD wprost, czyli każdą z liczb: m, a, b rozłożyć na czynniki pierwsze i wtedy cała zabawa staje się znacznie przejrzystsza. Nie no, bo nie chciałbym po prostu dowodu podawać, ta podpowiedź powinna wystarczyć

tak, to jest jasne, ale musze to formalnie udowodnic

Mamy do udowodnienia, że NWD(am, bm) = m × NWD(a,b)

a wiec założmy ze:

k=NWD(a,b) k ε N

wtedy:

k | a i k | b

czyli:

k × x = a i k × y = b gdzie x,y ε N NWD(x, y) = 1

mnozymy obie strony rownania przez "m" i mamy:

kmx = a × m i kmy = b × m

wówczas:

NWD (am, bm) = k × m = NWD(a, b) × m
c.b.d.o


Chyba dobrze no nie ?