Ciekawa równość z Mathematical Gazette

[a4karo]

Pokaż, że jeżeli \(\displaystyle{ A,\ B}\) są względnie pierwszymi liczbami dodatnimi, to
\(\displaystyle{ \left[\frac{A}{B}\right]+\left[\frac{2A}{B}\right]+\dots+\left[\frac{(B-1)A}{B}\right]=\left[\frac{B}{A}\right]+\left[\frac{2B}{A}\right]+\dots+\left[\frac{(A-1)B}{A}\right].}\)

\(\displaystyle{ [\cdot]}\) oznacza część całkowitą.

[arek1357]

Łatwo sie to wykazuje z równości:

\(\displaystyle{ \left[ \frac{p}{q} \right]= \frac{p-x}{q}}\)

x to taka najmniejsza liczba spełniająca tę równość..

liczba \(\displaystyle{ x < q}\)i to jest klucz do zadania.

w zadaniu będa wszystkie reszty to się ładni doda...


\(\displaystyle{ \left[ \frac{A}{B} \right] = \frac{A-x_{1}}{B}}\)

\(\displaystyle{ \left[ \frac{2A}{B} \right] = \frac{2A-x_{2}}{B}}\)

..............................................................................................

\(\displaystyle{ \left[ \frac{(B-1)A}{B} \right] = \frac{(B-1)A-x_{B-1}}{B}}\)

\(\displaystyle{ x_{i}}\) - są to liczby minimalne, zauważmy że to są wszystkie reszty z dzielenia przez B

następnie:

\(\displaystyle{ \left[ \frac{B}{A} \right] = \frac{B-y_{1}}{A}}\)

\(\displaystyle{ \left[ \frac{2B}{A} \right] = \frac{2B-y_{2}}{A}}\)

......................................................................................

\(\displaystyle{ \left[ \frac{(A-1)B}{A} \right] = \frac{(A-1)B-y_{A-1}}{A}}\)

\(\displaystyle{ y_{i}}\) - wszystkie reaszty z dzielenia przez A

zsumujmy jedno i drugie i otrzymamy to samo...


Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{B-1}=1+2+...+(B-1)= \frac{B(B-1)}{2}}\)

\(\displaystyle{ y_{1}+y_{2}+...+y_{A-1}=1+2+...+(A-1) = \frac{A(A-1)}{2}}\)

To są tylko permutacje wszystkich reszt

Po zwinięciu prawej lub lewej strony otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{(A-1)(B-1)}{2}}\)

Temat umieszczony w złym dziale...