Równanie różniczkowe z podstawieniem problem z x

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Eno_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 13 sty 2018, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równanie różniczkowe z podstawieniem problem z x

Post autor: Eno_ » 6 paź 2018, o 20:55

Witam w zadany mam dość podstawowy przykład jednak dopiero zaczynam "zabawę" z równaniami różniczkowymi i jestem trochę zdezorientowany. Równanie wygląda w następujący sposób:

\(\displaystyle{ y'= \frac{-1}{1- \frac{y}{x} }+ \frac{1}{y+ \frac{ y^{2}}{x} }}\).

Stosuję podstawienie \(\displaystyle{ u= \frac{y}{x}}\). Dalej wyliczam \(\displaystyle{ y=ux , y'=u'x+u}\) i podstawiam do równania. Tylko, że potem pojawia się problem, ponieważ nie jestem tego w stanie doprowadzić do takiej postaci, aby \(\displaystyle{ u}\) i pochodna \(\displaystyle{ u}\) były po jednej stronie a \(\displaystyle{ x}\) był po drugiej, bo każda operacja z \(\displaystyle{ x}\) kończy się jeszcze większym rozproszeniem \(\displaystyle{ x}\) na pozostałe elementy. Czy może powinienem zastosować inne podstawienie? Z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 6 paź 2018, o 22:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli. Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe z podstawieniem problem z x

Post autor: janusz47 » 7 paź 2018, o 09:41

\(\displaystyle{ y' = \frac{-1}{1- \frac{y}{x}} + \frac{1}{y\left (1+\frac{y}{x}\fright)}}\)

\(\displaystyle{ y = ux, \ \ y' = u'x +u}\)

\(\displaystyle{ u'x +u = \frac{-1}{1- u}+ \frac{1}{ux(1+u)}}\)

\(\displaystyle{ u'x = \frac{1}{ux(1+u)} -\left( \frac {1}{1-u}+ u\right).}\)

ODPOWIEDZ