Matematyka.pl

Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) niepodzielnej przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 5}\) pewna liczba postaci \(\displaystyle{ 99...9}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\). Wsk: Zbadać reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\) liczb \(\displaystyle{ 10 ^{k}}\), dla zmieniającego się wykładnika \(\displaystyle{ k \ge 0}\). Wskazać tę liczbę dla \(\displaystyle{ n=7}\). Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) niepodzielnej przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 5}\) pewna liczba postaci \(\displaystyle{ 11...1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\).

Jak mam wykorzystać wskazówkę, zbadać resztę z dzielenia \(\displaystyle{ 10 ^{k}}\) przez \(\displaystyle{ n}\), wiedząc tylko że samo \(\displaystyle{ n}\) daje przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 10}\) resztę \(\displaystyle{ 1,3,7}\) lub \(\displaystyle{ 9}\) ?

Małe Twierdzenie Fermata.

Dla \(\displaystyle{ n}\) złożonych nie zadziała, niepodzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 5}\) jest równie dobrze \(\displaystyle{ 21}\) ;/

Działa, gdyż każda złożona \(\displaystyle{ n}\) jest iloczynem liczb pierwszych różnych od \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 5}\).

\(\displaystyle{ 21=3 \cdot 7\\
10^{3-1}\mod 3=1\\
10^{7-1}\mod 7=1\\
1=\left( 10^{7-1}\mod 7\right)\left( 10^{3-1}\mod 3\right)=10^{12}\mod 21}\)

PS
choć już \(\displaystyle{ 999999}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 21}\)

Nawet nie wiedziałem, że to tak można bez konsekwencji rozbijać nawet jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest iloczynem l. pierwszych, dzięki.

Oczywiście że nie można. Sorki, dopiero wstałem i jeszcze się nie dobudziłem.

Róznica liczb \(\displaystyle{ 10^k-10^l}\) ma postać \(\displaystyle{ 999...90...0}\), więc jeżeli ani \(\displaystyle{ 2}\) ani \(\displaystyle{ 5}\) nie dzieli liczby \(\displaystyle{ n}\), to ona sama musi dzielić ten kawałek złożony z dziewiątek. Zasada szufladkowa kończy dowód.