Dowód indukcyjny nierówności

[camillus25]

Proszę o pomoc w tym zadaniu:

Metodą indukcji udowodnij, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a _{k} \ge -1,a _{k} \in \RR, k=1, 2, ..., n}\), mają ten sam znak, to

\(\displaystyle{ (1+a _{1})(1+a _{2})...(1+a _{n}) \ge 1+a _{1}+a _{2}+...+a _{n}}\)

[karolex123]

Sprawdzasz najpierw dla \(\displaystyle{ n=1}\). Dostaniemy równość.
Zakładamy, że nierówność jest spełniona dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb N}\) (założenie indukcyjne).
Dowodzimy tezy indukcyjnej (ustalając wcześniej \(\displaystyle{ a_k \ge -1}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,n+1}\))

\(\displaystyle{ (1+a _{1})(1+a _{2})...(1+a _{n})(1+a_{n+1}) \ge (1+a_1+...+a_n)(1+a_{n+1})=\\=1+a_1+a_2 +...+a_{n+1}+ \sum_{i=1}^{n}a_i a_{n+1} \ge 1+a_1+a_2 +...+a_{n+1}.}\)

Zobacz, gdzie skorzystaliśmy z założeń o liczbach \(\displaystyle{ a_k}\) oraz z założenia indukcyjnego.-- 6 paź 2018, o 18:06 --Nigdzie nie stwierdziłem, że ta suma jest równa \(\displaystyle{ 0}\), tylko że jest nie mniejsza od \(\displaystyle{ 0}\).

[camillus25]

Chyba już rozumiem. Dziękuje