Matematyka.pl

Witam wszystkich serdecznie, aktualnie przygotowuję się do egzaminu licencjackiego i trafiłem na pewne zagadnienie które nie mówi mi całkowicie nic. Mianowicie :

"Iloczyn skalarny w przestrzeni \(\displaystyle{ (\RR^n, \RR, +, \cdot )}\)"

Czym jest przestrzeń \(\displaystyle{ (\RR^n, R, +, \cdot )}\)? ogólnie to jest jakiś dziwny zapis jakby to było \(\displaystyle{ (R, \cdot )}\) ok liczby rzeczywiste z mnożeniem ale tak ? O co mogą pytać ludzie z komisji ?

Z góry dziękuję

Funkcja:

\(\displaystyle{ < | >: \RR^{n} \rightarrow \RR}\) określona wzorem:

\(\displaystyle{ <\vec{x}|\vec{y}> = x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}+...+x_{n}\cdot y_{n}.}\)

dla

\(\displaystyle{ \vec{x}, \vec{y} \in \RR^{n}.}\)

janusz47 pisze:Funkcja:

\(\displaystyle{ < | >: \RR^{n} \rightarrow \RR}\) określona wzorem:

\(\displaystyle{ <\vec{x}|\vec{y}> = x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}+...+x_{n}\cdot y_{n}.}\)

dla

\(\displaystyle{ \vec{x}, \vec{y} \in \RR^{n}.}\)

Ok dzięki wielkie, to wydaje się sensowne, tylko czym w takim wypadku jest iloczyn skalarny w tej przestrzeni ?

Pewnie chodzi o przestrzeń wektorową \(\displaystyle{ \RR ^n}\), nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\) z działaniami \(\displaystyle{ +}\) oraz \(\displaystyle{ \cdot}\), czyli dodawania wektorów oraz mnożenia wektora przez skalar. Jeśli chcesz wejść w temat głębiej, to zerknij na aksjomaty przestrzeni wektorowej.

Iloczyn wektorowy w takiej przestrzeni to pewna funkcja, która bierze dwa wektory i tej parze przypisuje skalar.

Iloczyn skalarny to pewna dwuliniowa forma, symetryczna, dodatnio określona.