Suma dzienników liczby naturalnej

[MrCommando]

Niech \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ n\geq 3}\). Udowodnić, że liczbę \(\displaystyle{ n!}\) można przedstawić jako sumę \(\displaystyle{ n}\) różnych swoich dzienników.

Najprawdopodobniej proste zadanie, aczkolwiek trochę się pogubiłem. Wydaje się, że najlepszą metodą będzie skorzystanie z indukcji. Wykazanie tezy dla paru początkowych \(\displaystyle{ n}\) jest proste, mamy \(\displaystyle{ 3!=1+2+3}\), \(\displaystyle{ 4!=2+12+4+6}\), ale mam problem z krokiem indukcyjnym.

Poza tym jeżeli \(\displaystyle{ d_i}\), \(\displaystyle{ 1\leq i \leq n}\), są różnymi dzielnikami liczby \(\displaystyle{ n!}\), takimi że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} d_i=n!}\), to wtedy dla każdego \(\displaystyle{ d_i}\) istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ k_i}\), że \(\displaystyle{ k_id_i=n!}\). Udało mi się łatwo wykazać, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{k_i}=1}\). Jednak mam wrażenie, że akurat to do niczego nie prowadzi.

W miarę możliwości proszę o wskazówkę, a nie gotowca.

[Sylwek]

Jeśli masz rozkład \(\displaystyle{ n!}\) na sumę \(\displaystyle{ n}\) dzielników, to natychmiast masz rozkład \(\displaystyle{ (n+1)!}\) na sumę \(\displaystyle{ n}\) dzielników.

Pytanie, jak zrobić z tego \(\displaystyle{ n+1}\) dzielników - intuicja raczej jasna, trzeba jakiś dzielnik rozbić na sumę dwóch dzielników. No i, żeby przy tym rozbijaniu nie stracić własności "różnych" dzielników, najlepiej, no właśnie, to ważne, najlepiej rozbijać który dzielnik? Odpowiedni wybór ma jeszcze jeden gigantyczny plus... Nie chciałeś gotowca, to rozkmiń resztę sam.

P.S. W moim sposobie dobry start ma kluczowe znaczenie, m.in. nie używam i nie chcę używać zaproponowanego przez Ciebie rozkładu \(\displaystyle{ 4!}\).

[MrCommando]

Jeżeli \(\displaystyle{ n!=\sum_{i=1}^{n}d_i}\), to wtedy \(\displaystyle{ (n+1)!=(n+1)\sum_{i=1}^{n}d_i=(n+1)d_1+(n+1)d_2+...+(n+1)d_n}\). Zatem istotnie mamy rozkład liczby \(\displaystyle{ (n+1)!}\) na sumę \(\displaystyle{ n}\) dzielników, o którym wspominałeś.
Zatem korzystając z powyższego rozkładu, zaproponuję trochę inny rozkład \(\displaystyle{ 4!}\). Mianowicie \(\displaystyle{ 4!=4+8+12=1+3+8+12}\). Generalnie rzecz biorąc rozkłady dla kilku początkowych liczb będą wyglądały tak:
\(\displaystyle{ 3!=1+2+3 \\
4!=1+3+8+12 \\
5!=1+4+15+40+60 \\
6!=1+5+24+90+240+360}\)
Stąd pomysł, żeby spróbować pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), \(\displaystyle{ n\geq 3}\) liczbę \(\displaystyle{ n!}\) można zapisać jako sumę \(\displaystyle{ n}\) dzielników, z których najmniejszym jest jedynka. To znaczy, że \(\displaystyle{ n!=1+d_2+d_3+...+d_n}\) (możemy przyjąć bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ d_1=\min\{d_1,d_2,d_3,...,d_n\}}\), wtedy przyjmiemy \(\displaystyle{ d_1=1}\). Przypuśćmy, że teza zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ n\geq 3}\). Wykażemy, że zachodzi również dla \(\displaystyle{ n+1}\). Mamy:
\(\displaystyle{ (n+1)!=(n+1)d_1+(n+1)d_2+...+(n+1)d_n=1+n+(n+1)d_2+...+(n+1)d_n}\).
Rozbiliśmy dzielnik \(\displaystyle{ n+1}\) na sumę dzielników \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ 1}\) otrzymując ostatecznie rozkład liczby \(\displaystyle{ (n+1)!}\) na sumę \(\displaystyle{ n+1}\) dzielników. Zatem na mocy zasady indukcji teza jest prawdziwa.

Dzięki

[Sylwek]

Bardzo dobrze