Matematyka.pl

Na okręgu jest \(\displaystyle{ n \geq 3}\). Jedno miejsce jest zajęte przez 1, a wszystkie inne przez zera. Wykonuje się takie operacje:
Wybiera się miejsce zajęte przez 1 i zamienia liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) na tych miejscu i obu sąsiednich liczbami \(\displaystyle{ 1-a, 1-b, 1-c}\).
Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) można przez stosowny ciąg operacji doprowadzić do tego ,by na wszystkich miejscach były zera ?

Punkt z jedynką nazwę \(\displaystyle{ A_1}\), a kolejne leżące na prawo od niego \(\displaystyle{ A_2,A_3,...,A_n}\) .
Wykonując opisaną operację w punkcie \(\displaystyle{ A_1}\), a następnie kolejno w każdym leżącym na prawo punkcie od \(\displaystyle{ A_2}\) do \(\displaystyle{ A_{n-2}}\), dostaje się 0 w \(\displaystyle{ A_{n-2}}\), a w pozostałych punktach 1.

Jeśli \(\displaystyle{ n=3k+1}\) to 3k jedynek zamienia się na 0 wykonując operację w punktach \(\displaystyle{ A_n, A_3,..., A_{3k-4}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n=3k+2}\) to operacja w \(\displaystyle{ A_{n-1}}\) daje 3k jedynek w punktach od \(\displaystyle{ A_1}\) do \(\displaystyle{ A_{n-2}}\) które zamienia się na 0 wykonując operację w punktach \(\displaystyle{ A_2, A_5,..., A_{3k-1}}\)

Dla \(\displaystyle{ n=3k}\) nie można otrzymać samych zer.