[Nierówności] Niejednorodna, cykliczna, trzy zmienne

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1431
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta

[Nierówności] Niejednorodna, cykliczna, trzy zmienne

Post autor: bosa_Nike » 26 wrz 2018, o 09:42

Liczby rzeczywiste \(a,b,c\) spełniają warunki: \(a+b+c=0\) oraz \(a^2+b^2+c^2=6\). Udowodnij, że \(a^2b+b^2c+c^2a\le 5abc+14\). Kiedy zachodzi równość?


PS Nie znam na razie eleganckiego rozwiązania tego zadania. Może to się zmieni.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

Re: [Nierówności] Niejednorodna, cykliczna, trzy zmienne

Post autor: timon92 » 26 wrz 2018, o 12:51

jeśli się nie pomyliłem w rachunkach, to równość zachodzi dla \(a=2\sin\left(\frac 16\pi + \frac \vartheta 3\right), b=2\sin\left(\frac 56\pi + \frac \vartheta 3\right), c=2\sin\left(\frac 96\pi + \frac \vartheta 3\right)\), przy czym \(\vartheta = \arccos \frac{13}{14}\)
Ukryta treść:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1431
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta

Re: [Nierówności] Niejednorodna, cykliczna, trzy zmienne

Post autor: bosa_Nike » 29 wrz 2018, o 10:38

Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ