Matematyka.pl

Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ 0,5^{x} + 0,5^{x + 1} + 0,5^{x + 2} + ... > 2 \sqrt{0,5^{x} + 2 }}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right)^x \cdot \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{0}+ \left( \frac{1}{2}\right) ^{1}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+...\right)\right)>2 \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^x+2}}\)

sumując ten ciąg i kładąc \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right)^x=t}\) mamy równoważnie

\(\displaystyle{ t> \sqrt{t+2}}\)

to można podnieść bezpiecznie do kwadratu pamiętając o tym że \(\displaystyle{ t>0}\).