[Algebra] miniMix szkolny

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 726
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Elayne » 24 wrz 2018, o 18:10

01. Pokazać, że równanie
\(x^2 + y^2 + z^2 = (x - y)(y - z)(z - x)\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.

02. Niech \(a, b, c\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
\(\frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} = 1\)
Udowodnij, że \(abc \le 1/8.\)

03. Rozwiąż w liczbach całkowitych \(x,y,z:\)
\(x + y = 1 - z, \ \ x^3 + y^3 = 1 - z^2\)

04. Niech \(a, b, c\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Udowodnij, że
\(\frac{(b + c - a)^2}{(b + c)^2 + a^2} + \frac{(c + a - b)^2}{(c + a)^2 + b^2} + \frac{(a + b - c)^2}{(a + b)^2 + c^2} \ge \frac{3}{5}\)

05. Niech \(a, b, c\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(abc = 1.\) Udowodnij, że
\(\frac{a^3}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^3}{(b - c)(b - a)} + \frac{c^3}{(c - a)(c - b)} \ge 3\)

06. Niech \(p\) będzie liczbą pierwszą większą od \(3.\) Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych \((a,b)\) spełniające równanie
\(a^2 + 3ab + 2p(a + b) + p^2 = 0.\)

07. Niech \(x, y\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(x + y = 2.\) Udowodnij, że
\(x^3 y^3(x^3 + y^3) \le 2\)

08. Niech \(a, b, c\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(a + b + c \ge abc\). Udowodnij. że \(a^2 + b^2 + c^2 \ge \sqrt{3}abc.\)

09. Niech \(a,b,c,d,e,f\) będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że
\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d} < \frac{e}{f}\)
Przyjmijmy założenie, że \(af - be = -1.\) Pokazać, że \(d \ge b + f.\)

10. Udowodnij dla \(x, y > 0.\)
\(\frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy}\)

11. Niech \(a, b, c\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
\(\frac{ab}{1 + bc} + \frac{bc}{1 + ca} + \frac{ca}{1 + ab} = 1\)
Udowodnij, że \(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \ge 6 \sqrt{2}.\)

12. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek \((x,y,z)\) w liczbach całkowitych takich, że \(x^3 + y^4 = z^{31}.\)

13. Oznaczmy obecny wiek dwóch braci literkami \(a\) i \(b\) oraz ojca literką \(c\), ponadto literki \(a,b,c\) to trzy różne dodatnie liczby całkowite. Niech \(\frac{b - 1}{a - 1} \text{ i } \frac{b + 1}{a + 1}\) będą dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi, oraz \(\frac{c - 1}{b - 1} \text{ i } \frac{c + 1}{b + 1}\) będą dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi. Jeśli \(a + b + c \le 150,\) ustalić \(a,b,c.\)

14. Znajdź wszystkie czwórki \((a,b,c,d)\) w liczbach naturalnych takie, że \(a \le b \le c \text{ i } a! + b! + c! = 3^d.\)

15. Jeśli \(a,b,c,x\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(abc \neq 0 \text{ i } \frac{xb + (1 - x)c}{a} = \frac{xc + (1-x)a}{b} = \frac{xa + (1-x)b}{c}.\)
Udowodnij, że wtedy \(a + b + c = 0\) lub \(a = b = c.\)


\Edycja -poprawiono zadanie 5, pomyliłem literki oraz w zadaniu 11 zwrot nierówności. Przepraszam.
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2018, o 06:46 przez Elayne, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14138
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: [Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Premislav » 24 wrz 2018, o 23:10

2.:    
4.:    
7.:    
8.:    
10.:    
11. błąd w treści…:    
14.:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: kerajs » 25 wrz 2018, o 06:42

3:    
13:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14138
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: [Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Premislav » 25 wrz 2018, o 22:28

12.:    

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1431
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: bosa_Nike » 26 wrz 2018, o 09:44

5.:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14138
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: [Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Premislav » 27 wrz 2018, o 04:59

6.:    

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 726
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Elayne » 27 wrz 2018, o 13:16

Ad.06.:    

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 726
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Elayne » 4 paź 2018, o 15:13

Ad.09.:    
Nierozwiązane zadania to: 01, 15.-- 7 paź 2018, o 05:05 --Wskazówki do zadań:
Ad.01.:    
Ad.15.:    

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 726
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Elayne » 16 paź 2018, o 01:17

Ad.01.:    

ODPOWIEDZ