[Algebra] miniMix szkolny

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Elayne »

01. Pokazać, że równanie
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = (x - y)(y - z)(z - x)}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.

02. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} = 1}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ abc \le 1/8.}\)

03. Rozwiąż w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x,y,z:}\)
\(\displaystyle{ x + y = 1 - z, \ \ x^3 + y^3 = 1 - z^2}\)

04. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{(b + c - a)^2}{(b + c)^2 + a^2} + \frac{(c + a - b)^2}{(c + a)^2 + b^2} + \frac{(a + b - c)^2}{(a + b)^2 + c^2} \ge \frac{3}{5}}\)

05. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ abc = 1.}\) Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^3}{(b - c)(b - a)} + \frac{c^3}{(c - a)(c - b)} \ge 3}\)

06. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą większą od \(\displaystyle{ 3.}\) Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (a,b)}\) spełniające równanie
\(\displaystyle{ a^2 + 3ab + 2p(a + b) + p^2 = 0.}\)

07. Niech \(\displaystyle{ x, y}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ x + y = 2.}\) Udowodnij, że
\(\displaystyle{ x^3 y^3(x^3 + y^3) \le 2}\)

08. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ a + b + c \ge abc}\). Udowodnij. że \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \ge \sqrt{3}abc.}\)

09. Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} < \frac{e}{f}}\)
Przyjmijmy założenie, że \(\displaystyle{ af - be = -1.}\) Pokazać, że \(\displaystyle{ d \ge b + f.}\)

10. Udowodnij dla \(\displaystyle{ x, y > 0.}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy}}\)

11. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że
\(\displaystyle{ \frac{ab}{1 + bc} + \frac{bc}{1 + ca} + \frac{ca}{1 + ab} = 1}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \ge 6 \sqrt{2}.}\)

12. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele trójek \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) w liczbach całkowitych takich, że \(\displaystyle{ x^3 + y^4 = z^{31}.}\)

13. Oznaczmy obecny wiek dwóch braci literkami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz ojca literką \(\displaystyle{ c}\), ponadto literki \(\displaystyle{ a,b,c}\) to trzy różne dodatnie liczby całkowite. Niech \(\displaystyle{ \frac{b - 1}{a - 1} \text{ i } \frac{b + 1}{a + 1}}\) będą dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi, oraz \(\displaystyle{ \frac{c - 1}{b - 1} \text{ i } \frac{c + 1}{b + 1}}\) będą dwoma kolejnymi liczbami całkowitymi. Jeśli \(\displaystyle{ a + b + c \le 150,}\) ustalić \(\displaystyle{ a,b,c.}\)

14. Znajdź wszystkie czwórki \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) w liczbach naturalnych takie, że \(\displaystyle{ a \le b \le c \text{ i } a! + b! + c! = 3^d.}\)

15. Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c,x}\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ abc \neq 0 \text{ i }
\frac{xb + (1 - x)c}{a} = \frac{xc + (1-x)a}{b} = \frac{xa + (1-x)b}{c}.}\)

Udowodnij, że wtedy \(\displaystyle{ a + b + c = 0}\) lub \(\displaystyle{ a = b = c.}\)


\Edycja -poprawiono zadanie 5, pomyliłem literki oraz w zadaniu 11 zwrot nierówności. Przepraszam.
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2018, o 06:46 przez Elayne, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Premislav »

2.:    
4.:    
7.:    
8.:    
10.:    
11. błąd w treści…:    
14.:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: kerajs »

3:    
13:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Premislav »

12.:    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: bosa_Nike »

5.:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Premislav »

6.:    
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Elayne »

Ad.06.:    
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Elayne »

Ad.09.:    
Nierozwiązane zadania to: 01, 15.-- 7 paź 2018, o 05:05 --Wskazówki do zadań:
Ad.01.:    
Ad.15.:    
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

[Algebra] miniMix szkolny

Post autor: Elayne »

Ad.01.:    
ODPOWIEDZ