Matematyka.pl

Mam problem, uczennica na korepetycjach zapodała mi takie zadanko, gdzie trzeba obliczyć miarę kąta zaznaczonego na czerwono. Skorzystałem z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg, wszystko ładnie pięknie, tylko... Uczennica (2 klasa LO, poziom rozszerzony) nie miała jeszcze tego twierdzenia, będzie je miała za jakieś 2-3 miesiące

Czy ktoś z Was widzi jakiś inny sposób na to? Bo ja to z geometrii zawsze idę najprostszą drogą, strasznie nie lubię mieć związanych rąk Oczywiście podałem jej potrzebne twierdzenie, ale obiecałem, że pomyślę nad rozwiązaniem przystępnym dla niej

Z góry dziękuję za wszelką pomoc

Można to prosto zrobić korzystając z twierdzenia o kącie środkowym i kącie wpisanym (choć tak naprawdę powtórzymy w ten sposób niejawnie dowód twierdzenia o którym mówisz).

Liczysz miarę kąta środkowego opartego na tym samym łuku co kąt \(\displaystyle{ 95^\circ}\), bierzesz dopełnienie tego kąta do kąta pełnego, a potem liczysz miarę kąta w czworokącie opartego na tym samym łuku, co wspomniane dopełnienie.

JK

Niestety, żadna z cięciw nie przechodzi przez środek okręgu, więc z tego powodu twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym od razu odrzuciłem

Zaznaczyłem kropeczką środek okręgu

Zaznaczony na czerwono kąt ma miarę \(\displaystyle{ ?}\)

Z warunku wpisania czworokąta w okrąg:

\(\displaystyle{ | \angle \alpha| +95^{o} = 180^{o}}\)

gdzie: kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) leży naprzeciw kąta o mierze \(\displaystyle{ 95^{o}}\) (rysunek).

Stąd

\(\displaystyle{ |\angle \alpha | = 85^{o}}\)

Z trójkąta o kątach:

\(\displaystyle{ 85^{0}, \ \ 30^{o}, \ \ ?}\)

i sumy miar kątów w trójkącie:

\(\displaystyle{ 85^{0} + 30^{o} +? =180^{o}.}\)

Zaznaczony na czerwono kąt ma miarę:

\(\displaystyle{ ? = 180^{o} - 85^{o} - 30^{o}= 65^{o}.}\)

janusz47 wyprzedził mnie.
Właśnie pisałem odpowiedź. To jest prawidłowe rozwiązanie zadania.

Jan Kraszewski, podał rozwiązanie, bez użycia tw. o wpisaniu czworokąta w okrąg. Kąt środkowy, o którym mówi, musisz sobie dorysować.

Gamma

Proszę przedstawić to rozwiązanie.

Jan Kraszewski pisze:Można to prosto zrobić korzystając z twierdzenia o kącie środkowym i kącie wpisanym (choć tak naprawdę powtórzymy w ten sposób niejawnie dowód twierdzenia o którym mówisz).

Liczysz miarę kąta środkowego opartego na tym samym łuku co kąt \(\displaystyle{ 95^\circ}\), bierzesz dopełnienie tego kąta do kąta pełnego, a potem liczysz miarę kąta w czworokącie opartego na tym samym łuku, co wspomniane dopełnienie.

JK

No i na koniec wykorzystujemy wiedzę o tym, że suma miar kątów w trójkącie jest równa \(\displaystyle{ 180 ^\circ}\).

Jasne, powtarzamy dowód twierdzenia, które autor pytania chciał pominąć, ale nie używamy go wprost i myślę że o to autorowi pytania chodziło. To też miałam na myśli pisząc "bez użycia".

janusz47 pisze:Zaznaczony na czerwono kąt ma miarę \(\displaystyle{ ?}\)

Z warunku wpisania czworokąta w okrąg:

\(\displaystyle{ | \angle \alpha| +95^{o} = 180^{o}}\)

gdzie: kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) leży naprzeciw kąta o mierze \(\displaystyle{ 95^{o}}\) (rysunek).

Stąd

\(\displaystyle{ |\angle \alpha | = 85^{o}}\)

Z trójkąta o kątach:

\(\displaystyle{ 85^{0}, \ \ 30^{o}, \ \ ?}\)

i sumy miar kątów w trójkącie:

\(\displaystyle{ 85^{0} + 30^{o} +? =180^{o}.}\)

Zaznaczony na czerwono kąt ma miarę:

\(\displaystyle{ ? = 180^{o} - 85^{o} - 30^{o}= 65^{o}.}\)

Chodziło mi o rozwiązanie, BEZ tw. o czworokącie wpisanym w okrąg, bo uczennica jeszcze go nie miała

dorysować \(\displaystyle{ AC}\), potem z równości kątów wpisanych(dwukrotnie) jw

swoją drogą "Bo ja to z geometrii zawsze idę najprostszą drogą" nie za bardzo ma tu zastosowanie, zaryzykuję stwierdzenie że obie metody są równie proste, ta może nawet ciut szybsza

Miara kąta wklęsłego \(\displaystyle{ DOB}\) jest równa \(\displaystyle{ 170^{o}}\)

Miara kąta \(\displaystyle{ BAD}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot 170^{o} = 85^{o}.}\)

Miara kąta czerwonego jest równa \(\displaystyle{ 180^{o} - 85^{o} -30^{o}= 65^{o}.}\)

Jest to zadanie z poziomu rozszerzonego matury, dziwne, że nauczyciel podając zastrzega sobie nie korzystanie z własności miar kątów czworokąta wpisanego w okrąg.

Jest to zadanie z poziomu rozszerzonego matury, dziwne, że nauczyciel podając zastrzega sobie nie korzystanie z własności miar kątów czworokąta wpisanego w okrąg.

Nie do końca, po prostu, to jest zadanie ze strony dajmy na to pięćdziesiątej, a tw. o czworokącie wpisanym w okrąg, ma dopiero na stronie 320 Podałem uczennicy ten sposób "na zaś", ale pytała czy da się zrobić bez tego i wymiękłem -- 23 wrz 2018, o 15:54 --Bardzo dziękuję użytkownikom Rafsaf i Janusz47 za pomoc!