Matematyka.pl

Cześć.

Nie mam zbyt dużej wiedzy na temat dyskretnej transformaty Fouriera, jest natomiast jeden jej aspekt, który z chęcią był zrozumiał, nawet jeśli tylko intuicyjnie.

Weźmy macierz \(\displaystyle{ n \times n}\) i znajdźmy jej dyskretną transformatę Fouriera. Z tego co rozumiem, to wynik również jest macierzą \(\displaystyle{ n \times n}\), tyle, że o wartościach zespolonych. No to teraz weźmy drugą macierz \(\displaystyle{ k \times k}\), gdzie \(\displaystyle{ k < n}\) i ponownie znajdźmy jej transformatę.

Z twierdzenia o splocie wiemy, że splot tych dwóch macierzy można wyznaczyć mnożąc ich transformaty w dziedzinie częstotliwości, a następnie znaleźć transformatę odwrotną. Pytanie jak to zrobić w tym przypadku? Tych macierzy nie będzie się dało pomnożyć element po elemencie, bo wymiary się nie zgadzają. Czy ktoś wie, jak się takie rzeczy robi? Będę wdzięczny za pomoc.

P.S. Nie byłem pewny co do działu, w któym umieścić temat, prosze przenieść jeśli jest dla niego lepsze miejsce.

Jeśli druga macierz jest wymiaru \(\displaystyle{ k}\) mniejszego od \(\displaystyle{ n}\) to mamy dwie metody dopasowania tych macierzy.

metoda 1

redukcja macierzy \(\displaystyle{ n\times n}\) do wymiaru \(\displaystyle{ k}\) poprzez analizę składowych głównych - odrzucenie tzw. wartości nieistotnych odpowiadających mniejszym wartościom własnym \(\displaystyle{ \lambda_{i}.}\)

metoda 2

skalowanie macierzy \(\displaystyle{ n}\) do wymiaru \(\displaystyle{ k}\) lub odwrotnie.

Z tymi zagadnieniami można zapoznać się na przykład w" Między czasem a częstością: elementy współczesnej analizy sygnałów. Rozdział V. Analiza sygnałów wielowymiarowych Piotra J. Durka. 2004 r.

Dziękuję za odpowiedź, niestety nie mam dostępu do tej pozycji, czy mógłbym zatem prosić o rozwinięcie metody 2? Gdybyśmy przeskalowali macierz \(\displaystyle{ k}\) do \(\displaystyle{ n}\), to w jaki sposób powinniśmy to zrobić, aby uzyskać poprawny wynik zgodny ze splotem w dziedzinie rzeczywistej? Chodzi o wypełnienie pozostałych elementów \(\displaystyle{ k}\) zerami tak, aby wymiary się zgadzały, czy może jednak o "rozciągnięcie" tej macierzy w sposób analogiczny do tego jak zmienia się rozmiary obrazka, który przecież też jest macierzą?

Definicja splotu dwóch macierzy o różnych rozmiarach, którą wykorzystuje się w transformacji Fouriera, w grafice, w teorii obrazu jest następująca:

\(\displaystyle{ A_{n,m}*B_{k,l} = \sum_{u}\sum_{v}a_{u,v}\cdot b_{x-u+1,y-v+1}.}\)