Zamiana współrzędnych na biegunowe.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
kox944
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 mar 2018, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WWA

Zamiana współrzędnych na biegunowe.

Post autor: kox944 » 17 wrz 2018, o 16:33

Witam, chciałbym się zapytać czy dobrze rozumiem pytanie, polecenie wygląda następująco :

W całce \(\int_{}^{} \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{x^2+y^2} } \mbox{d}x \mbox{d}y\) zmienić współrzędne na biegunowe.

W tej sytuacji po zmianie : \(x=r\sin \alpha\) oraz \(y=r\cos \alpha\) i podstawieniu pod wzór początkowy tak na prawdę nic się nie zmienia, jak to ugryźć ?

Pozdrawiam.

TenNick
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 16 wrz 2018, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Re: Zamiana współrzędnych na biegunowe.

Post autor: TenNick » 17 wrz 2018, o 17:33

Jak podniesiesz sobie \(x\) i \(y\) do kwadratu i wyciągniesz \(r^2\) przed nawias to z jedynki trygonometrycznej zostanie Ci samo \(r^2\) pod pierwiastkiem. Ale \(r>0\) oczywiście i wychodzi Ci całka podwójna z \(\frac{1}{r}\), ale (tutaj nie jest pewien) musisz pomnożyć jeszcze razy Jacobian równy \(r\). Masz całkę podwójną \(\frac{1}{r} \cdot r\) i wychodzi całka podwójna z \(1\). Z tym Jacobianem sobie sprawdź, bo nie jestem na 100% pewien. Jeśli bez niego to całka podwójna z \(\frac{1}{r} dr d\alpha\)

edit.
Przy zamianie zmiennych stosuje się Jacobian, więc opcja pierwsza jest poprawna
Ostatnio zmieniony 18 wrz 2018, o 20:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

ODPOWIEDZ