Udowodnij równość z pierwiastkami trzeciego i drugiego s

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Ankaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 1 lut 2007, o 14:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ...
Podziękował: 2 razy

Udowodnij równość z pierwiastkami trzeciego i drugiego s

Post autor: Ankaz » 3 paź 2007, o 21:12

Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{5} +2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=1}\)

Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 7 paź 2007, o 15:09 przez Ankaz, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Udowodnij równość z pierwiastkami trzeciego i drugiego s

Post autor: Plant » 3 paź 2007, o 21:28

Niech:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{5} +2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=t /^3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5} +2-3\sqrt[3]{(\sqrt{5} +2)^2(\sqrt{5} -2)}+3\sqrt[3]{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5} -2)^2}-\sqrt{5} +2 =t^3}\)
Działają wzory skróconego mnożenia i:
\(\displaystyle{ -3\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+3\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}+4=t^3 \\
-3(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2})+4=t^3}\)


Patrzymy na pierwsze założenie i mamy:
\(\displaystyle{ -3t+4=t^3 \\ t^3+3t-4=0 \\ (t-1)(t^2-t+4)=0 \\ t=1}\)

ODPOWIEDZ