Udowodnij równość z pierwiastkami trzeciego i drugiego s

[Ankaz]

Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{5} +2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=1}\)

Z góry dziękuję za pomoc

[Plant]

Niech:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{5} +2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=t /^3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5} +2-3\sqrt[3]{(\sqrt{5} +2)^2(\sqrt{5} -2)}+3\sqrt[3]{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5} -2)^2}-\sqrt{5} +2 =t^3}\)
Działają wzory skróconego mnożenia i:
\(\displaystyle{ -3\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+3\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}+4=t^3 \\
-3(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2})+4=t^3}\)

Patrzymy na pierwsze założenie i mamy:
\(\displaystyle{ -3t+4=t^3 \\ t^3+3t-4=0 \\ (t-1)(t^2-t+4)=0 \\ t=1}\)