Matematyka.pl

Proszę o wskazanie drogi do rozwiązania zadania:

Wymień wszystkie reszty jakie może dawać suma dwóch kwadratów liczb całkowitych przy dzieleniu przez 8.

Czy ta droga jest dobra?
\(\displaystyle{ (8n \pm 1)^{2} + (8k \pm 1)^{2}}\)

Nie wiem co masz na myśli mówiąc o swoim rozwiązaniu bo nie piszesz słownie o tym tylko podajesz jakiś symbol, więc interpretacja jest trudna. Ja bym to zauważył że każdą liczbę można zapisać jako \(\displaystyle{ 4k+a}\) oraz \(\displaystyle{ 4m+b}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b\in\left\{ 0,1,2,3\right\}}\). Po tej obserwacji widać że:

\(\displaystyle{ \left( 4k+a\right)^2+\left( 4m+b\right)^2\equiv a^2+b^2 \bmod 8}\)

By wypisać wszystkie możliwe reszty można wykonać tabelkę \(\displaystyle{ r=a^2+b^2 \bmod 8}\) z wszystkim parami \(\displaystyle{ (a,b)\in\left\{ 0,1,2,3\right\}^2}\). Taki par jest \(\displaystyle{ 16}\) choć można policzyć tylko \(\displaystyle{ 10}\) zważywszy na symetrię tabelki.-- 11 wrz 2018, o 13:59 --Z tego co widać z tabelki wynika że możliwe reszty to \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,4,5\right\}}\)