Matematyka.pl

\(\displaystyle{ E^{2} - p^{2} c^{2} = m_{o}^{2} c^{4}}\)

Tu jestem kompletnie zielony. Tu jest jakaś definicja czteropędu? Nie mam żadnej wiedzy by przeprowadzić ten dowód.

Chodzi o \(\displaystyle{ {\displaystyle m_{r}={\frac {p^{0}}{c}}={\frac {E_{r}}{c^{2}}}}}\) ?? coś takiego?

Masz udowodnić ten wzór korzystając z formalizmu czterowektorów?
Weźmy dowolny czteropęd punktu materialnego \(\displaystyle{ p^\mu= \left( \frac{E}{c},\vec{p} \right)}\). Dla dowolnego czterowektora \(\displaystyle{ v= \left( v_0,\vec{v} \right)}\) jego "długość" obliczamy ze wzoru \(\displaystyle{ v^2=v_0^2-\vec{v}^2}\). Długość ta jest niezmiennikiem transformacji Lorentza, zatem w każdym układzie odniesienia wynosi tyle samo. Obliczmy "długość" czteropędu:
\(\displaystyle{ \left( p^\mu \right) ^2=\frac{E^2}{c^2}-\vec{p}^2}\). Z tego, że "długość" czteropędu danego punktu materialnego jest w każdym układzie odniesienia taka sama, możemy przyrównać wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{E^2}{c^2}-\vec{p}^2}\) do takiego wyrażenia obliczonego w układzie odniesienia w którym punkt materialny spoczywa:
\(\displaystyle{ \frac{E^2}{c^2}-\vec{p}^2=\frac{E'^2}{c^2}-\vec{p'}^2}\).
W układzie spoczynkowym \(\displaystyle{ E'=mc^2}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{p'}=\vec{0}}\), dostajemy zatem
\(\displaystyle{ \frac{E^2}{c^2}-\vec{p}^2=m^2c^2}\).
Dalej chyba umiesz przekształcić.

A takie coś?

Nie da się tego zapisać, w latexie, ale wygląda to tak, że \(\displaystyle{ 1- \frac{ v^{2} }{ c^{2} } }}\) dajemy do licznika i mianownika i mamy \(\displaystyle{ 1}\).

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}} = 1 / \cdot m_{0}^{2} c^{4}}\)
i potem jedziemy przekształcenia

Uu, nie znałem tego, fajne Jako fizyk purysta powiem, że brzydkie, niefizyczne i nie działa dla cząstek bezmasowych, ale pewnie dla wykładowcy będzie ok.

Nie znałeś takiego banału?

Przecież to jest zwyczajny wzór typu:
\(\displaystyle{ \cosh(x)^2 - \sinh(x)^2 = 1}\)

dość pospolity w geometrii hiperbolicznej, bo analogiczny do tradycyjnego: \(\displaystyle{ sin^2 + cos^2 = 1}\).