Matematyka.pl

Na podstawie trojkata rownoramiennego abc wybrano 2 dowolne punkty D i E i z kazdego z nich poprowadzono odcinki prostopadle do ramion trojkata Udowodnij ze suma dlugosci odcinkow poprowadzonych z punktu D jest rowna sumie dlugosci odcinkow poprowadzonych z punktu E.

z katow wiem ze trojkaty stworzone przez te odcinki sa do siebie podobne wiec wypadaloby udowodnic ze:

\(\displaystyle{ k_1+k_2=k_3+k_4}\) co wydaje mi konczyloby dowod tylko jak ?

Z podobieństwa odpowiednich trójkątów mamy
\(\displaystyle{ \frac{k_1}{k_3} \,=\, \frac{x}{a-y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{k_2}{k_4} \,=\, \frac{a-x}{y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{k_1}{k_4} \,=\, \frac{x}{y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{k_3}{k_4} \,=\, \frac{a-y}{y}}\)
zatam
\(\displaystyle{ k_1+k_2\,=\, k_4*\frac{x}{y} + k_4*\frac{a-x}{y} \,=\,k_4*\frac{x+a-x}{y}\,=\,\\\,=\,k_4*\frac{a}{y}\,=\,k_4*\frac{a-y+y}{y}\,=\,k_4*\frac{a-y}{y}+k_4\,=\,k_3+k_4}\)