Matematyka.pl

Mam takie zadanie, ale mam problem, bo nie wiem skąd się bierze wyrażenie \(\displaystyle{ n ^{2} \cdot 2 ^{1}}\) w dowodzie nierówności.

Wykaż, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n \ge 5}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 2 ^{n} >n ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 1.}\)

\(\displaystyle{ n=5}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{5} >5 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 32>25}\)

\(\displaystyle{ 2.}\)

\(\displaystyle{ Z: 2 ^{n} >n ^{2}}\)
\(\displaystyle{ T: 2 ^{n+1} >(n+1) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ D: 2 ^{n} \cdot 2 ^{1} >n ^{2} \cdot 2 ^{1} \ge (n+1) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ ...}\)
Proszę o pomoc.

Widzę że przeprowadzasz swój dowód przez indukcję to rozsądny pomysł choć nie wiem czy jesteś świadomy postępowania.Indukcyjny dowód tej tezy zaczyna się od sprawdzenia bazy czyli czy teza jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n=5}\), jest to bardzo proste i wykonałeś to w podpunkcie \(\displaystyle{ 1}\). Następnie zakładasz że teza jest pełniona dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\) i rozważasz prawdziwość implikacji tezy dla \(\displaystyle{ n+1}\). Ważne jest tu że cały czas pamiętasz o swoim założeniu indukcyjnym a cała esencja indukcji tkwi w pokazaniu implikacji. Pytasz więc o

\(\displaystyle{ 2^{n+1}>(n+1)^2}\)

Wiedząc że \(\displaystyle{ 2^n>n^2}\). Równoważne twoje założenie można przepisać jako \(\displaystyle{ 2^{n+1}>2n^2}\) mnożąc je storniami przez \(\displaystyle{ 2}\). Pytając się teraz o to czy \(\displaystyle{ 2n^2>(n+1)^2}\) dokończysz dowód. Bo prawdą jest że \(\displaystyle{ 2n^2>(n+1)^2}\) na rozważanym zbiorze więc też prawdą jest \(\displaystyle{ 2^{n+1}>2n^2>(n+1)^2}\). Co potwierdza implikacje. I na mocy tw. o indukcji kończy dowód.

Próbuje zrobić analogicznie przykład dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{n(n-1)} > (n!)^{2}}\), ale coś mi nie wychodzi.

\(\displaystyle{ Z: 2 ^{n(n-1)} > (n!)^{2}}\)
\(\displaystyle{ T: 2 ^{(n+1)n} > (n+1!)^{2}}\)
\(\displaystyle{ D: 2^{n^{2}} \cdot 2^{n}>2^{2n} \cdot (n!)^{2} > ((n+1)!)^{2}}\)

Piszesz ścianę matematycznych znaczków nic nie komentując. Nie stosujesz założenia indukcyjnego albo robisz to źle. Zauważyć należy że gdy pomnożymy założenie stronami to dostaniemy \(\displaystyle{ 2^{n(n-1)}(n+1)^2 \ge ((n+1)!)^2}\). Jeśli nierówność \(\displaystyle{ 2^{n(n+1)} \ge 2^{n(n-1)}(n+1)^2}\) okazał by się prawdziwa to dowód zostanie zakończony bo wtedy będziemy mieli \(\displaystyle{ 2^{n(n+1)} \ge ((n+1)!)^2}\) na mocy przechodniości. Pytanie więc czy prawdą jest

\(\displaystyle{ 2^{n(n+1)} \ge 2^{n(n-1)}(n+1)^2}\)

co jest równoważne z

\(\displaystyle{ 2^{2n} \ge (n+1)^2}\)

a to jest oczywiście prawdą bo jak już wiesz z poprzedniego zadania \(\displaystyle{ 2^{n+1}>(n+1)^2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) a skoro \(\displaystyle{ 2n \ge n+1}\) to \(\displaystyle{ 2^{2n} \ge 2^{n+1}>(n+1)^2}\). Co kończy dowód.

Dzięki zrozumiałem teraz.