równanie różniczkowe we wsp. biegunowych

[Fibik]

Mam równanie różniczkowe we wsp. biegunowych:

\(\displaystyle{ r' = f \left( r \right)}\)
i druga współrzędna - do pary:
\(\displaystyle{ \phi' = g \left( r \right)}\)

jak wyliczyć położenie: \(\displaystyle{ r = r \left( x,y \right)}\) w ramach takiego równania?

Takie coś w ogóle można całkować?
Bo tu jakiejś głupoty wychodzą z tego... to nie działa po prostu.

Konkretnie mamy takie równania:
\(\displaystyle{ r' = \left( 1-\frac{a}{r} \right) \sqrt{1-\frac{h^2}{r^2 \left( 1-\frac{a}{r} \right) }}}\)
oraz to drugie:
\(\displaystyle{ \phi' = \frac{h}{r^2}}\)

i teraz podstawiam punkt startowy w którym: \(\displaystyle{ r' = 0}\),
zatem wtedy \(\displaystyle{ dr = 0}\), co jest bzdurą, ponieważ wtedy kąt \(\displaystyle{ f}\), i tak rośnie z uwagi na drugie równanie.

To jest sytuacja typu:
|----/---------> \(\displaystyle{ v = rf'}\)
|\(\displaystyle{ r}\)../
|../ \(\displaystyle{ r + dr \ne r}\), więc \(\displaystyle{ dr \ne 0}\) !
|./
O

po prostu: \(\displaystyle{ dr = rdf}\), co dla dowolnego \(\displaystyle{ r > 0}\), przy \(\displaystyle{ df \ne 0}\) zawsze wyprodukuje \(\displaystyle{ dr \ne 0}\), wbrew równaniu 1, gdzie \(\displaystyle{ r' = 0}\) !

[Tulio]

Trochę się pogubiłem (pewnie nie tylko ja) w tym co piszesz, ale dr = 0 oznacza tylko, że promień jest stały, kąt może rosnąć. Patrz okrąg - promień stały zaś kąt sobie rośnie.

[Fibik]

Niby tak, ale z tego wychodziłoby, że równania różniczkowe w ramach współrzędnych biegunowych reprezentują jakieś bzdury;

A co gorsza, to można łatwo uogólnić na dowolne współrzędne krzywoliniowe.

Takie coś zawsze musimy rozwiązywać w tych płaskich - niezależnych współrzędnych, czyli: x,y.

\(\displaystyle{ \vec{r} = r\cdot r^0 \to \vec{r}' = r'\cdot r^0 + r\cdot r^0' = r'\cdot r^0 + r\cdot \phi' = v_r\cdot r^0 + v_t \phi^0}\)

zatem możemy sobie z tego wyliczyć:
\(\displaystyle{ r' = |\vec{r}'| = \sqrt{r'^2 + r^2\phi'^2}}\)

co jest oczywiście już inne od oryginalnego r'!

albo tak:
\(\displaystyle{ r = \sqrt{x^2+y^2} \to r' = \frac{xx' + yy'}{r} = \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r}}\)

-- 15 września 2018, 19:50 --

i podstawiając te równania z biegunowych otrzymamy jakby nowe r':

\(\displaystyle{ r'^2 = (1-\frac{a}{r})^2 - \frac{h^2}{r^2}(1-\frac{a}{r}) + \frac{h^2}{r^2} = ...}\)

zatem teraz zamiast zera otrzymamy:
\(\displaystyle{ r' = \frac{h}{r}}\)

co jest oczywiście tym odjazdem z powodu zmiany samego kąta: \(\displaystyle{ dr = rd\phi = \frac{h}{r} dt}\)