Przekątne ośmiokąta

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Ewa 20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 18 lut 2007, o 12:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Ozimek
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 12 razy

Przekątne ośmiokąta

Post autor: Ewa 20 » 3 paź 2007, o 20:13

Przekątne ośmiokąta wypukłego mają tę własność, że żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie. W ilu punktach przecinają się przekątne tego wielokąta?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Przekątne ośmiokąta

Post autor: Sir George » 4 paź 2007, o 11:59

Każda przekątna wypukłego n-kąta dzieli wierzchołki na dwa podzbiory: k-elementowy i n-k-2 -elementowy, gdzie 1≤kn-3. Przy ustalonym k przekątnych o tej własnosności jest dokładnie n. A przecinają ją przekątne łączące wierzchołki z przeciwległych zbiorów (takich przekątnych jest k(n-k-2) ). Pamiętając o tym, że przecięcie liczymy podwójnie (z punktu "widzenia" każdej przekątnej), liczba przecięć wynosi dokładnie
\(\displaystyle{ \frac12\cdot n\,\cdot\,\sum_{k=1}^{n-3}k(n-k-2)\ =\ \ldots\ =\ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{12}\ =\ 2{n\choose4}}\)


Pozdrawiam

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

Przekątne ośmiokąta

Post autor: jovante » 4 paź 2007, o 12:33

Po pierwsze nie można tego zadania uogólnić na dowolny wypukły n-kąt, bo np. dla sześciokąta foremnego trzy przekątne mogą przeciąć się w jednym punkcie. Po drugie wynik jest niepoprawny (choć to akurat można łatwo poprawić).

Ponieważ każde cztery różne wierzchołki ośmiokąta wypukłego jednoznacznie (co mamy zagwarantowane w treści zadania) wyznaczają jeden punkt przecięcia się odpowiednich przekątnych, to takich punktów jest \(\displaystyle{ {8 \choose 4}}\).

ODPOWIEDZ