Strumień pola wektorowego przez powierzchnię zorientowaną

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
dyrAnd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 1 wrz 2018, o 13:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Strumień pola wektorowego przez powierzchnię zorientowaną

Post autor: dyrAnd » 1 wrz 2018, o 14:24

Powierzchnia \(M = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=\sqrt{z}>0\}\) jest zorientowana tak, że ujemna strona jest widoczna, a dodatnia niewidoczna z \((0,0,\frac12)\). Oblicz strumień pola wektorowego \([\frac{x}{z},\frac{y}{z},\sqrt{z}]\) przez powierzchnię M ze strony ujemnej na dodatnią, czyli \(\int_M [\frac{x}{z} dy\wedge dz+\frac{y}{z}dz\wedge dx+\sqrt{z}dx\wedge dy]\). Czy zbiór \(M \cup \{(0,0,0)\}\) jest rozmaitością?
(źródło: https://www.mimuw.edu.pl/~kk262640/anal ... 03_egz.pdf)

Przekrój M na wysokości z jest okręgiem o promieniu \(\sqrt{z} - z^2\). To się zeruje w z=0 oraz z=1 i ma maksimum (1) dla \(\frac{1}{2\cdot2^{\frac13}}\).
I punkt (0,0,1/2) jest wewnątrz M, więc strona dodatnia to jest ta zewnętrzna.

Żeby policzyć całkę (chyba) można skorzystać z tw. Gaussa-Ostrogradzkiego. Niech \(M = \partial A\)

\(\int_{\partial A} [\frac{x}{z} dy\wedge dz+\frac{y}{z}dz\wedge dx+\sqrt{z}dx\wedge dy] = \int_A \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{2\sqrt{z}} d\lambda_3(x,y,z)\).

Ale jak wygląda sprawa ze znakami przy tej orientacji?

Czy można obliczyć całkę w ten sposób? (równość z tw. Fubiniego)
\(\int_A \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{2\sqrt{z}} d\lambda_3(x,y,z) = \int_0^1 (\pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{2\sqrt{z}} )(\int_{A_z} 1 d\lambda_2(x,y)) dz\)
Gdzie \(A_z\) jest przekrojem "na wysokości" z. Wtedy \(\lambda_2(A_z) = \pi\cdot (\sqrt{z}-z^2)^2\)

I ostatecznie do policzenia byłaby całka \(\int_0^1 (\pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{2\sqrt{z}}) ( \pi\cdot (\sqrt{z}-z^2)^2) dz\)?

ODPOWIEDZ