Transformata fouriera sygnału stowarzyszonego
: 29 sie 2018, o 09:48
Mam takie dwa zadania, czy ktoś mógłby zerknąć na poniższe rozwiązania?
a) \(\displaystyle{ f _{\left( x\right) } = 2 \sin\left( \pi x\right)}\)
b)\(\displaystyle{ f _{\left( x\right) } = \cos\left( \pi x \right)}\)
\(\displaystyle{ f a_{x} = f_{\left( x\right) } i \mathcal{H}\left( f _{x} \right) = f _{\left( x\right) } \ast i \widehat{f}\left( x\right)}\)
Rozwiązanie:
ad a)
\(\displaystyle{ \mathcal{F} \left[ fa _{x} \right] = \mathcal{F} \left[ 2 \sin \left( \pi x \right) \right] + i \mathcal{F} \left[ -2 \cos \left( \pi x \right) \right] = 2 \frac{1}{2i} \left[ \delta \left( w - \pi \right) + \delta \left( w + \pi \right)\right] + 2i \frac{1}{2} \left[ \delta \left( w - \pi \right) + \delta \left( w + \pi \right)\right] = - \delta \left( w - \pi \right) + \delta \left( w + \pi \right) + i\delta \left( w - \pi \right) + i\delta \left( w + \pi \right)}\)
-- 29 sie 2018, o 09:00 --
W przypadku b)
\(\displaystyle{ fa _{x} = \cos \left( \pi x\right) + \sin \left( \pi x\right) = e^{i \pi x}}\)
więc licząc transformatę:
\(\displaystyle{ \mathcal{F} \left[ fa _{x} \right] = \int_{- \infty }^{ \infty }\left( fa _{x} \right)e^{-i w x} \mbox{d}x = \int_{- \infty }^{ \infty }e^{i \pi x}e^{-i w x} \mbox{d}x = \int_{- \infty }^{ \infty }e^{x\left( i \pi - i w \right)}\) \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\)
mam takie coś:
\(\displaystyle{ \frac{1}{i \pi - i w} e ^{x\left( i \pi - i w \right) }}\)
w graniach od \(\displaystyle{ - \infty}\) do \(\displaystyle{ \infty}\)
czy nie popełniłem gdzieś błędu ? Czy jednak lepiej zrobić to podobnie jak w podpunkcie a)
czyli
\(\displaystyle{ \mathcal{F} \left[ fa _{x} \right] = \mathcal{F} \left[ \cos \left( \pi x \right) \right] + i \mathcal{F} \left[ \sin \left( \pi x \right) \right] = ...}\)
a) \(\displaystyle{ f _{\left( x\right) } = 2 \sin\left( \pi x\right)}\)
b)\(\displaystyle{ f _{\left( x\right) } = \cos\left( \pi x \right)}\)
\(\displaystyle{ f a_{x} = f_{\left( x\right) } i \mathcal{H}\left( f _{x} \right) = f _{\left( x\right) } \ast i \widehat{f}\left( x\right)}\)
Rozwiązanie:
ad a)
\(\displaystyle{ \mathcal{F} \left[ fa _{x} \right] = \mathcal{F} \left[ 2 \sin \left( \pi x \right) \right] + i \mathcal{F} \left[ -2 \cos \left( \pi x \right) \right] = 2 \frac{1}{2i} \left[ \delta \left( w - \pi \right) + \delta \left( w + \pi \right)\right] + 2i \frac{1}{2} \left[ \delta \left( w - \pi \right) + \delta \left( w + \pi \right)\right] = - \delta \left( w - \pi \right) + \delta \left( w + \pi \right) + i\delta \left( w - \pi \right) + i\delta \left( w + \pi \right)}\)
-- 29 sie 2018, o 09:00 --
W przypadku b)
\(\displaystyle{ fa _{x} = \cos \left( \pi x\right) + \sin \left( \pi x\right) = e^{i \pi x}}\)
więc licząc transformatę:
\(\displaystyle{ \mathcal{F} \left[ fa _{x} \right] = \int_{- \infty }^{ \infty }\left( fa _{x} \right)e^{-i w x} \mbox{d}x = \int_{- \infty }^{ \infty }e^{i \pi x}e^{-i w x} \mbox{d}x = \int_{- \infty }^{ \infty }e^{x\left( i \pi - i w \right)}\) \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\)
mam takie coś:
\(\displaystyle{ \frac{1}{i \pi - i w} e ^{x\left( i \pi - i w \right) }}\)
w graniach od \(\displaystyle{ - \infty}\) do \(\displaystyle{ \infty}\)
czy nie popełniłem gdzieś błędu ? Czy jednak lepiej zrobić to podobnie jak w podpunkcie a)
czyli
\(\displaystyle{ \mathcal{F} \left[ fa _{x} \right] = \mathcal{F} \left[ \cos \left( \pi x \right) \right] + i \mathcal{F} \left[ \sin \left( \pi x \right) \right] = ...}\)