Równanie różniczkowe drugiego rzeu metoda przewidywań

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
bartekxk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 sie 2018, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie różniczkowe drugiego rzeu metoda przewidywań

Post autor: bartekxk » 28 sie 2018, o 18:49

Witam, mam takie pytanie.
Dlaczego w równaniu
\(y''-4y'+4y=8 x^{2} +e ^{2x}\)
przy równianiu jednorodnym
\(yj=c1e ^{2x} + c2xe ^{2x}\)
y przewidywane dla\(e ^{2x}\)muszę wielomian podnosić do sześcianu? Przy podnoszeniu do kwadratu wychodzi zły wynik, a wielomian do kwadratu nie zawiera się w równaniu jednorodnym.
Proszę o pomoc.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Równanie różniczkowe drugiego rzeu metoda przewidywań

Post autor: Janusz Tracz » 28 sie 2018, o 20:38

Ponieważ równanie charakterystyczne ma pierwiastek podwójny to w rozwiązaniu przewidywanym wyrażanie \(e^{2x}\) trzeba pomnożyć przez \(x^2\) bo było to rozwiązanie istotnie różne od rozwiązania jednorodnego. Rozwiązanie szczególne powinno być liniowo niezależne z rozwiązaniem ogólnym. Widać to też na prostym eksperymencie. Gdybyśmy przewidywali rozwiązanie szczególne w postaci \(Ae^{2x}\) lub \(Axe^{2x}\) to dodanie takiego rozwiązania do

\(C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+Ae^{2x}=C_3e^{2x}+C_2xe^{2x}\)

nic nie zmiana, bo stała \(C_1\) i tak jest dowolna. Przewidywać będziemy \(Ax^2e^{2x}\) pochodzące od \(e^{2x}\) oraz wielomian stopnia drugiego pochodzący od \(8x^2\)

bartekxk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 sie 2018, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie różniczkowe drugiego rzeu metoda przewidywań

Post autor: bartekxk » 29 sie 2018, o 10:45

Tylko właśnie problem jest w tym, że przy przewidywaniu \(Ax ^{2}e ^{2x}\) rozwiązanie wychodzi błędne, dopiero przy\(Ax^{3} e^{2x}\) wynik wychodzi poprawny. Właśnie nie potrafię zrozumieć dlaczego muszę podnosić do szescianu zamiast do kwadratu.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Równanie różniczkowe drugiego rzeu metoda przewidywań

Post autor: Janusz Tracz » 29 sie 2018, o 11:11

Nie wiem jak to liczysz więc nie jestem wstanie powiedzieć co jest nie tak. Wiem że przewidywanie powinno być z \(Ax^2e^{2x}\) i że wynik wychodzi poprawny gdy takie jest. Skąd masz to zadanie i odpowiedź? Z Kryśickiego? Zresztą na potwierdzenie możesz sprawdzić Wolframem klik

bartekxk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 sie 2018, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Równanie różniczkowe drugiego rzeu metoda przewidywań

Post autor: bartekxk » 29 sie 2018, o 11:33

Znalazłem błąd w rozwiązaniu, masz racje, dzięki za pomoc.

ODPOWIEDZ