Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
direkts
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 3 paź 2007, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lodz
Podziękował: 3 razy

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: direkts » 3 paź 2007, o 18:27

Siema,
Mam problem, kto mi pomoże ?
Treść :
"Udowodnij że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{6}}\) jest liczbą niewymierną"
Z góry dzieki za pomoc i sry jak zły dział
Ostatnio zmieniony 3 paź 2007, o 18:32 przez direkts, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: Plant » 3 paź 2007, o 18:31

Było dużo podobnych zadań. Liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]6}\) spełnia nierówność \(\displaystyle{ x^3-6=0}\). Teraz tylko zostaje Ci wyeliminowanie wymierności tej liczby na podstawie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu.

direkts
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 3 paź 2007, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lodz
Podziękował: 3 razy

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: direkts » 3 paź 2007, o 18:33

a mogłbyś dokladnie rozpisac cale zadanko od poczatku do konca ?

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: Plant » 3 paź 2007, o 18:37

To jest prawie wszystko. Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu mówi, że jeśli wielomian posiada takowe, to mają postać \(\displaystyle{ \frac{p}{q}\wedge p\in C q\in N}\) oraz p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q współczynnika przy najwyższej potędze.

Zatem jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3-6}\) ma pierwiastki wymierne to należą do zbioru {1,-1,2,-2,3,-3,6,-6}. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{6}\approx 1.817..}\) Czyli nie należy do tego zbioru. Wniosek: \(\displaystyle{ \sqrt[3]{6}}\) nie jest liczbą wymierną.
Ostatnio zmieniony 3 paź 2007, o 18:38 przez Plant, łącznie zmieniany 1 raz.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: Piotr Rutkowski » 3 paź 2007, o 18:37

Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{6}\in Q}\) wtedy oczywiście:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{6}=\frac{p}{q} \\ p,q Z \\ NWD(p,q)=1}\)
bo możemy przedstawić dowolną liczbę wymierną w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego
wtedy mamy z tego równania po podniesieniu do potęgi 3 \(\displaystyle{ \frac{p^{3}}{q^{3}}=6 \\ p^{3}=6q^{3} p\equiv 0 \(mod6)}\) wystarczy rozpatrzyć reszty z dzielenia \(\displaystyle{ p^{3}}\) przez 6
podstawiając sobie \(\displaystyle{ p=6k \ k\in Z}\) otrzymamy:
\(\displaystyle{ 6q^{3}=(6k)^{3}}\), a więc
\(\displaystyle{ q^{3}=6*6*k^{3}}\), a więc analogicznie jak wcześniej rozważmy sobie podzielność q przez 6 i dojdziemy do wniosku, że \(\displaystyle{ 6|q}\), co nas doprowadza do sprzeczności z założeniem \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\), czyli nasza liczba nie jest wymierna

direkts
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 3 paź 2007, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lodz
Podziękował: 3 razy

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: direkts » 3 paź 2007, o 18:53

Wielkie dzieki ;D

pawelq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 5 mar 2007, o 18:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 2 razy

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: pawelq » 6 paź 2007, o 15:36

Aby zakończyć już wątek pierwiastków napiszę iż zupełnie analogicznie można udowodnic że pierwiastek dowolnego stopnia z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną albo niewymierną. Dowód jest analogiczny i łatwo wyprowadzic chociazby z przedstawionych wczesniej rozważan

matika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 23 maja 2007, o 00:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: matika » 31 mar 2008, o 18:41

No dobrze a gdy mamy do czynienia z pierwiastkami takiego typu \(\displaystyle{ \sqrt[3]{392}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{108}}\)to czy wystarczy pokazać niewymierność \(\displaystyle{ \sqrt[3]{49}}\) ?

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: Wasilewski » 31 mar 2008, o 18:46

Dla pierwsze przykładu tak, a w drugim trzeba oczywiście pokazać niewymierność \(\displaystyle{ \sqrt[3]{4}}\)

matika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 23 maja 2007, o 00:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: matika » 31 mar 2008, o 19:32

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{49}= \frac{p}{q} \ NWD(p,q)=1}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{49}=\frac{p^3}{q^3}}\)
to
\(\displaystyle{ 49q^3=p^3\ to\ 49Ip^3 \ to \ 49Ip}\)
\(\displaystyle{ 49q^3=(49p)^3 \ \text{ wiec }\ q^3=49 49p^3}\)
\(\displaystyle{ to \ 49Ip^3 \ to \ 49Iq^3 \ to \ 49Iq}\) co jest sprzeczne z założeniem

Tak to się robi?
Ostatnio zmieniony 31 mar 2008, o 20:21 przez matika, łącznie zmieniany 1 raz.

siupek94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 2 lis 2013, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łęczyca
Podziękował: 12 razy

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: siupek94 » 3 lis 2013, o 00:09

a czy \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) jest liczba niewymierna czy jaka?

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

Udowodnij, że pierwiastek jest liczbą niewymierną

Post autor: Ponewor » 3 lis 2013, o 00:23

Niewymierna.

ODPOWIEDZ