Podzielność sumy sześcianów

[poetaopole]

Wykaż, że jeżeli suma trzech liczb naturalnych jest podzielna przez 3, to również suma ich sześcianów dzieli się przez 3. Można prosić bez kongurencji

[PokEmil]

Niech tymi liczbami naturalnymi będą \(\displaystyle{ a, b, c}\). Skoro \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), to także \(\displaystyle{ (a+b+c)^{3}}\) jest podzielne przez 3. Spróbuj rozszerzyć i pogrupować to wyrażenie.

[Janusz Tracz]

Zauważ że skoro \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ m+k+n}\) to będzie też dzielić \(\displaystyle{ \left( m+k+n\right)^3}\) a to znaczy tyle że \(\displaystyle{ 3}\) dzieli:

\(\displaystyle{ \left( m+k+n\right)^3=m^3+k^3+n^3+3\left( k^2m+k^2n+km^2+kn^2+m^n+mn^2\right)+6kmn}\)

Tak więc

\(\displaystyle{ \left( m+k+n\right)^3-3\left( k^2m+k^2n+km^2+kn^2+m^n+mn^2\right)-6kmn=m^3+k^3+n^3}\)

lewa strona jest oczywiście podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) więc prawa też.

[poetaopole]

Dziękuję

[Premislav]

Może trochę szybciej:
dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) całkowitego dodatniego \(\displaystyle{ 3}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ a^3-a=a(a-1)(a+1)}\) (jest to bowiem iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych). Zatem
skoro \(\displaystyle{ 3| a+b+c}\), to \(\displaystyle{ 3|a+b+c+(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c)=a^3+b^3+c^3}\).-- 26 sie 2018, o 11:45 --Ktoś mógłby powiedzieć, że to niejawne skorzystanie z kongruencji i może w tym jest trochę prawdy, ale taki fakt:
suma liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) (działa też dla dowolnej innej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\))
to powinien być raczej jasny.