Całka dla opszaru ograniczonego 4 krzywymi

[Pasza09]

Mam takie zadanie i nie wiem jak do niego podejść
Oblicz \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{G}^{} \sqrt{xy}}\) dxdy dla obszaru G ograniczonego krzywymi \(\displaystyle{ y^{2}=ax , y^{2}=bx , xy=p , xy=q}\) przy czym \(\displaystyle{ 0<a<b 0<p<q}\) za pomocą podstawienia \(\displaystyle{ \frac{ y^{2} }{x}=u, xy=v}\)

Proszę jeśli ktoś wie jak to zrobić aby wytłumaczył, wszystko by było ok gdyby nie te parametry

[Premislav]

To jest naprawdę proste zadanie (nie piszę tego, żeby się popisywać, bo nie ma czym, tylko żeby Cię zachęcić do niebania się parametrów i samodzielnych zmagań z zadaniami).

Skoro ograniczające krzywe \(\displaystyle{ y^2=ax, \ y^2=bx}\) mają dodatnie parametry \(\displaystyle{ a,b}\) to masz \(\displaystyle{ x>0}\), więc z uwagi na \(\displaystyle{ a<b}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ a\le \frac{y^2}{x}\le b}\), czyli \(\displaystyle{ a\le u\le b}\).
Skoro zaś \(\displaystyle{ p, q}\) są dodatnie, to patrząc na dwie pozostałe ograniczające krzywe
\(\displaystyle{ xy=p, \ xy=q}\) i skoro \(\displaystyle{ 0<p<q}\), to \(\displaystyle{ p<xy<q}\), czyli
\(\displaystyle{ p<v<q}\).
Wyliczamy teraz \(\displaystyle{ x,y}\) w zależności od \(\displaystyle{ u,v}\), by wyznaczyć jakobian:
\(\displaystyle{ y^3=\frac{y^2}{x}\cdot xy=uv}\), więc \(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{uv}}\).
Podobnie
\(\displaystyle{ xy=v}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{v}{y}=\frac{v}{\sqrt[3]{uv}}=\frac{v^{\frac 2 3}}{u^{\frac 1 3}}}\)
Jakobianem odwzorowania odwrotnego będzie wartość bezwzględna takiego oto wyznacznika (o ile się nie machnąłem w obliczeniach, sam też policz pochodne cząstkowe):
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial u}x(u,v)&\frac{\partial}{\partial v}x(u, v) \\ \frac{\partial}{\partial u}y(u,v)&\frac{\partial}{\partial v}y(u, v)\end{array} \right|=\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\=\left|\begin{array}{cc} -\frac 1 3v^{\frac 2 3}u^{-\frac 4 3}&\frac 2 3 u^{-\frac 1 3}v^{-\frac 1 3} \\ \frac 1 3u^{-\frac 2 3}v^{\frac 1 3}& \frac 1 3v^{-\frac 2 3}u^{\frac 1 3}\end{array} \right|}\)
Czyli dostajesz jakąś taką całkę po zamianie zmiennych:
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} \int_{p}^{q}\frac 1 3 u \sqrt{v}\,\dd v\,\dd u}\)
a to się bardzo szybko liczy.

Dodatkowo polecam sporządzać rysunek do takich zadań, często rozjaśnia sytuację (nie musi być jakiś dokładny). I nie wiem, skąd ta niechęć do parametrów. Nie miałeś np. w szkole średniej równań z parametrem? Parametry nie są wcale straszne.

[Pasza09]

skąd ten iloczyn dwóch funkcji ? wszystko okey ale nie rozumiem tylko tego
\(\displaystyle{ y^3=\frac{y^2}{x}\cdot xy=uv}\),

[Premislav]

Ale co tu rozumieć? Jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ u=\frac{y^2}{x}, \ v=xy}\), to po prostu tak wychodzi.