wartość oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

wartość oczekiwana

Post autor: robin5hood » 3 paź 2007, o 17:43

Ze zbioru \(\displaystyle{ \{1..n\} \{1..n\} R^2}\) losujemy ze zwracaniem dwa punkty, z których jeden jest środkiem koła, a drugi leży na jego okręgu. Obliczyć wartość oczekiwaną pola takiego koła.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

wartość oczekiwana

Post autor: jovante » 4 paź 2007, o 03:24

Niech \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\) i \(\displaystyle{ (x_2,y_2)}\) oznaczają współrzędne środka okręgu i punktu na okręgu odpowiednio. Wówczas, przy założeniu, że losowanie punktów odbywa się niezależnie mamy:

\(\displaystyle{ EX=\pi\frac{\sum_{x_1=1}^{n}\sum_{y_1=1}^{n}\sum_{x_2=1}^{n}\sum_{y_2=1}^{n}\left[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\right]}{n^4}=2\pi\frac{\sum_{x_1=1}^{n}\sum_{x_2=1}^{n}(x_2-x_1)^2}{n^2}=\\=\frac{\pi(n^2-1)}{3}}\)

, przy czym po drodze skorzystałem z paru prostych tożsamości

ODPOWIEDZ