permutacje- silnia

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
vital
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 10 cze 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

permutacje- silnia

Post autor: vital » 22 sie 2018, o 13:21

Witam, czy mógłby ktoś pomóc z takim oto zadaniem
Ile zer ma na końcu liczba \(100!\) ?
Ostatnio zmieniony 22 sie 2018, o 21:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

permutacje- silnia

Post autor: kerajs » 22 sie 2018, o 13:24

\(il. \ zer= \frac{100}{5}+ \frac{100}{25} =24\)

vital
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 10 cze 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

permutacje- silnia

Post autor: vital » 22 sie 2018, o 13:37

mógłbyś wytłumaczyć dlaczego tak i czy ewentualnie da się to jakoś rozpisać?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

permutacje- silnia

Post autor: kerajs » 22 sie 2018, o 13:56

Będzie tyle zer ile jest 5 (bo 2 będzie znacznie więcej) w rozkładzie tego iloczynu na czynniki pierwsze.
Po jednej piątce jest w czynnikach \(5,10,15,20,30,35,40,45,55,60,65,70,80,85,90,95\) ,
a po dwie piątki w \(25,50,75,100\).


PS
Proponuję policzyć iloma zerami kończy się dziesiętny zapis liczby \(2018!\)
Ostatnio zmieniony 22 sie 2018, o 14:01 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.

vital
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 10 cze 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

permutacje- silnia

Post autor: vital » 22 sie 2018, o 14:01

Próbowałem to rozpisywać w ten sposób:
\(10 \cdot 20 \cdot 30 \cdot 40 \cdot 50 \cdot 60 \cdot 70 \cdot 80 \cdot 90 \cdot 100\), czyli będzie 11 zer, no i poźniej, żeby liczba kończyła się zerem to należy mnozyć liczbę parzystą przez liczbę z 5 na końcu, czyli:
\(2 \cdot 5=10\\ 4 \cdot 25=100\\ 6 \cdot 15=90 \\ ....\)
itd, czy jest to poprawne rozumowanie?
Ostatnio zmieniony 22 sie 2018, o 21:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

permutacje- silnia

Post autor: kerajs » 22 sie 2018, o 14:08

Poprawne. Minusem jest nadmiar obliczeń.

Ilość zer dla \(2018!\) wynosi: \(\left\lfloor \frac{2018}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2018}{25} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2018}{125} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2018}{625} \right\rfloor\)

vital
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 10 cze 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: permutacje- silnia

Post autor: vital » 27 sie 2018, o 11:56

Próbowałem to rozpisywać w ten sposób:
\(10 \cdot 20 \cdot 30 \cdot 40 \cdot 50 \cdot 60 \cdot 70 \cdot 80 \cdot 90 \cdot 100\), czyli będzie \(11\) zer, no i poźniej, żeby liczba kończyła się zerem to należy mnozyć liczbę parzystą przez liczbę z \(5\) na końcu, czyli:
\(2 \cdot 5=10\\ 4 \cdot 25=100\\ 6 \cdot 15=90\)
....
itd, czy jest to poprawne rozumowanie?
Ale kończąc wychodzi tak :
\(8 \cdot 75=600, \\ 12 \cdot 35=420, \\ 14 \cdot 45=630, \\ 16 \cdot 55=880,\\ 18 \cdot 65=1170,\\ 22 \cdot 85=1870, \\ 24 \cdot 95=2280\)
I mam \(12\) zer czyli razem \(12+11=23\) a ma być \(24\) gdzies robię błąd..
Ostatnio zmieniony 27 sie 2018, o 12:39 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: permutacje- silnia

Post autor: kerajs » 27 sie 2018, o 12:18

Zapominasz że \(50=5 \cdot 5 \cdot 2\).

vital
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 10 cze 2013, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: permutacje- silnia

Post autor: vital » 27 sie 2018, o 12:50

no ale już mam \(2 \cdot 5\) to czemu jeszcze \(5 \cdot 5 \cdot 2\)
Ostatnio zmieniony 27 sie 2018, o 17:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: permutacje- silnia

Post autor: kerajs » 27 sie 2018, o 13:06

Bo liczba 50 pomnożona przez liczbę parzystą da kolejne zero (to którego Ci brakuje) na końcu wyniku.

Jak sugerowałem już wcześniej, znacznie lepiej jest zliczać piątki, występujące w rozkładzie na czynniki pierwsze, niż dziesiątki.

ODPOWIEDZ