Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \omega=(-2y+x^2y+x^2)dx+(2y-xy^2+y^2)dy}\). Znaleźć taki obszar ograniczony \(\displaystyle{ \Omega \subset \RR^2}\) o brzegu kawałkami gładkim, żeby całka
\(\displaystyle{ \int_{\sigma\Omega}^{}\omega}\)
była możliwie największa. Brzeg obszaru ma naturalną orientację.

Z tw. Stokesa zachodzi
\(\displaystyle{ \int_{\sigma\Omega}^{}\omega= \int_{\Omega}^{} d\omega}\)
\(\displaystyle{ d\omega=(-2+x^2)dy \wedge dx+\left( 2-y^2\right) dx \wedge dy=4-x^2-y^2 dx \wedge dy}\)
No i trzeba się zastanowić kiedy
\(\displaystyle{ \int_{\Omega}^{} 4-x^2-y^2dxdy}\) jest największa, ale nie mam na to zbytnio pomysłu.
Ktoś coś?

Weź \(\displaystyle{ r^2=x^2+y^2}\) i narysuj to sobie. Wykres funkcji \(\displaystyle{ 4-x^2-y^2}\) ma os symetrii

To będzie paraboloida skierowana w dół. Zatem ta całka będzie największa gdy obszar będzie taki, żeby ta funkcja na nim była dodatnia, czyli okrąg o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\). Zgadza się?

Tak