Matematyka.pl

Dal danej miary kata \(\displaystyle{ \alpha}\) podaj najmiejszą dodatnią miarę kąta \(\displaystyle{ \beta}\) spełniającą równość \(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha + \sin ^{2} \beta =1}\)

\(\displaystyle{ \alpha = 10^{o}}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 \beta=\cos^2\left( 90-\beta\right)}\) (w stopniach, ja jestem bardziej przyzwyczajony do radianów, wtedy tam jest \(\displaystyle{ \frac {\pi}{2}}\), a nie \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\)), więc jedynka trygonometryczna sugeruje, że tą wartością będzie \(\displaystyle{ 80^{\circ}}\).
Łatwo to zweryfikować, ponieważ sinus jest dodatni i rosnący w pierwszej ćwiartce, więc przy ustalonym \(\displaystyle{ \alpha\in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\) funkcja \(\displaystyle{ f(\beta)=\sin^2\alpha+\sin^2\beta}\) jest rosnącą funkcją zmiennej \(\displaystyle{ \beta}\) w pierwszej ćwiartce, a ponadto dla \(\displaystyle{ \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha}\) osiąga wartość \(\displaystyle{ 1}\).