Dana jest rozmaitość
: 16 sie 2018, o 23:56
Dana jest rozmaitość \(\displaystyle{ M=\left\{ \left( x,y,z\right) \in {\RR^3}:1<z= \sqrt{x^2+y^2}<2 \right\}}\) zorientowana następująco: w każdym punkcie wektor normalny wyznaczający stronę dodatnią ma składową \(\displaystyle{ z}\)-ową ujemną. Obliczyć całkę po \(\displaystyle{ M}\) z formy \(\displaystyle{ \omega=xdy \wedge dz-(y+2z)dz \wedge dx+dx \wedge dy}\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Parametryzuję w ten sposób:
\(\displaystyle{ x=r\cos \phi}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin \phi}\)
\(\displaystyle{ z=r}\)
\(\displaystyle{ 1<r<2}\)
\(\displaystyle{ 0<\phi<2\pi}\)
\(\displaystyle{ dx=\cos \phi dr-r \sin \phi d\phi}\)
\(\displaystyle{ dy=\sin \phi dr+r\cos \phi d\phi}\)
\(\displaystyle{ dz=dr}\)
i wstawiam do formy:
\(\displaystyle{ \int_{S}^{}r\cos \phi (\sin \phi dr+r\cos \phi d\phi) \wedge dr-(r\sin \phi +2r)dr \wedge (\cos \phi dr+r\sin \phi d\phi)+(\cos \phi dr-r\sin \phi d \phi) \wedge (\sin \phi dr + r \cos \phi d\phi)=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{X}^{}r^2\cos ^2 \phi d\phi \wedge dr+(r^2 \sin^2\phi-2r^2\sin \phi)dr \wedge d\phi +r\cos ^2 \phi d r \wedge d \phi-r \sin^2 \phi d \phi \wedge dr=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{S}^{}-r^2\cos ^2 \phi dr \wedge d\phi+(r^2\sin ^2 \phi-2r^2\sin \phi )dr \wedge d \phi+r\cos ^2 \phi dr \wedge d \phi+r \sin ^2 \phi dr \wedge d \phi=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{S}^{}(-r^2 \cos ^2 \phi+r^2 \sin ^2 \phi-2r^2 \sin \phi+r \cos ^2 \phi+r \sin ^2 \phi )dr \wedge d \phi=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{S}^{}(-r^2\cos 2 \phi-2r^2 \sin \phi +r) drd\phi= \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{2}(-r^2\cos 2 \phi-2r^2 \sin \phi +r)drd\phi=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{0}^{2\pi}-1/3 \cdot 7\cos2\phi -2/3 \cdot 7\sin \phi +3/2d\phi=-7/6\sin 2\phi +14/3\cos \phi+3/2\phi}\) w granicy od zera do dwóch pi to się równa
\(\displaystyle{ 28/3+3\pi=3\pi+7 \frac{1}{3}}\).
Czy tak jest dobrze?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Parametryzuję w ten sposób:
\(\displaystyle{ x=r\cos \phi}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin \phi}\)
\(\displaystyle{ z=r}\)
\(\displaystyle{ 1<r<2}\)
\(\displaystyle{ 0<\phi<2\pi}\)
\(\displaystyle{ dx=\cos \phi dr-r \sin \phi d\phi}\)
\(\displaystyle{ dy=\sin \phi dr+r\cos \phi d\phi}\)
\(\displaystyle{ dz=dr}\)
i wstawiam do formy:
\(\displaystyle{ \int_{S}^{}r\cos \phi (\sin \phi dr+r\cos \phi d\phi) \wedge dr-(r\sin \phi +2r)dr \wedge (\cos \phi dr+r\sin \phi d\phi)+(\cos \phi dr-r\sin \phi d \phi) \wedge (\sin \phi dr + r \cos \phi d\phi)=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{X}^{}r^2\cos ^2 \phi d\phi \wedge dr+(r^2 \sin^2\phi-2r^2\sin \phi)dr \wedge d\phi +r\cos ^2 \phi d r \wedge d \phi-r \sin^2 \phi d \phi \wedge dr=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{S}^{}-r^2\cos ^2 \phi dr \wedge d\phi+(r^2\sin ^2 \phi-2r^2\sin \phi )dr \wedge d \phi+r\cos ^2 \phi dr \wedge d \phi+r \sin ^2 \phi dr \wedge d \phi=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{S}^{}(-r^2 \cos ^2 \phi+r^2 \sin ^2 \phi-2r^2 \sin \phi+r \cos ^2 \phi+r \sin ^2 \phi )dr \wedge d \phi=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{S}^{}(-r^2\cos 2 \phi-2r^2 \sin \phi +r) drd\phi= \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{2}(-r^2\cos 2 \phi-2r^2 \sin \phi +r)drd\phi=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{0}^{2\pi}-1/3 \cdot 7\cos2\phi -2/3 \cdot 7\sin \phi +3/2d\phi=-7/6\sin 2\phi +14/3\cos \phi+3/2\phi}\) w granicy od zera do dwóch pi to się równa
\(\displaystyle{ 28/3+3\pi=3\pi+7 \frac{1}{3}}\).
Czy tak jest dobrze?