Matematyka.pl

Udowodnij, że jeśli na płaszczyźnie zaznaczymy \(\displaystyle{ n \ge 3}\) punktów tak, że wśród nich nie ma żadnych trzech współliniowych, to prowadząc proste przez dowolne dwa z zaznaczonych punktów otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\) prostych.

Rozrysowałem sobie sytuację dla \(\displaystyle{ n=3}\) i \(\displaystyle{ n=4}\) i postawiłem hipotezę, że liczba prostych dla \(\displaystyle{ n}\) punktów wynosi \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(n-i) = \frac{n(n-1)}{2}}\)

Dla \(\displaystyle{ n = 3}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{3}(n-i) = \frac{3(3-1)}{2} = 3}\)
Teraz załóżmy prawdziwość dla pewnego \(\displaystyle{ n = k}\) tak, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}(k-i) = \frac{k(k-1)}{2}}\) i sprawdźmy prawdziwość implikacji dla \(\displaystyle{ n = k+1}\)
Mamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k+1}(k+1-i) = k + \sum_{i=1}^{k}(k-i) = k + \frac{k(k-1)}{2} = \frac{k ^{2} + k}{2} = \frac{(k+1)k}{2}}\), co dowodzi implikacji \(\displaystyle{ T(k) \Rightarrow T(k+1)}\)
Czy zadanie jest zrobione dobrze?

Nie trzeba tego robić indukcyjnie. Takie niewspółliniowe punkty tworzą wielokąt z każdego wierzchołka można poprowadzić \(\displaystyle{ n-1}\) prostych i można to powtórzyć dla \(\displaystyle{ n}\) wierzchołków. Ponieważ liczymy je podwójnie to liczba prostych to \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\)

Jest to zadanie z gwiazdką z działu poświęconego indukcji w moim podręczniku, więc zrobiłem używając indukcji.

SkitsVicious pisze: Teraz załóżmy prawdziwość dla pewnego \(\displaystyle{ n = k}\) tak, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}(k-i) = \frac{k(k-1)}{2}}\) i sprawdźmy prawdziwość implikacji dla \(\displaystyle{ n = k+1}\)
Mamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k+1}(k+1-i) = k + \sum_{i=1}^{k}(k-i) = k + \frac{k(k-1)}{2} = \frac{k ^{2} + k}{2} = \frac{(k+1)k}{2}}\), co dowodzi implikacji \(\displaystyle{ T(k) \Rightarrow T(k+1)}\)
Czy zadanie jest zrobione dobrze?

Nie, nie jest, bo Twoje rozwiązanie w żaden sposób nie odnosi się do treści zadania. Brakuje w tym rozumowaniu uzasadnienia.

Na przykład takiego:

Weźmy \(\displaystyle{ k+1}\) punktów spełniających warunek zadania i wybierzmy jeden z nich. Prostych, które przechodzą przez ten punkt jest \(\displaystyle{ k}\), natomiast prostych nie zawierających tego punktu, na mocy założenia indukcyjnego, jest ....

Wszystkich prostych jest zatem ...